пример решения контрольной работы

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в интеграле: . Область интегрирования изобразить на рисунке.

Решение. Выясним вид области интегрирования. Она восстанавливается по рисунку. Так как внутренний интеграл взят по у, то пределы внутреннего интеграла были получены из уравнений  и ; эти линии являются частью границы области интегрирования. Пределы внешнего интеграла постоянны и указывают промежуток изменения переменной х в области: . Для нахождения пределов для внешнего интеграла решим совместно систему:

Из системы получим:

 и .

Вторая точка  не принадлежит области интегрирования. Начертим гиперболу  и прямую  и учтем, что . Получим область интегрирования АВС (рис. 1.47).

Если изменим порядок интегрирования, то внешний интеграл надо брать по переменной у, а внутренний – по х. Из рис. 1.47 видно, что прямые, параллельные оси Ох, все входят в область АВС на СА (х=1), а выходят из неё и на прямой , и на гиперболе . Значит, область надо разбить на две. Для этого проводим прямую BD, параллельную оси Ох. Найдем ординаты точек C, D, A. Получим: C(1;1); D(1; ); A(1; ). Тогда

.

Пример 2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линией . Сделать схематический чертеж.

Решение. Уравнение линии преобразуем к виду:

выделив в левой части заданного уравнения полный квадрат относительно переменной х. Откуда видим, что имеем окружность радиуса 3 с центром в точке С(3;0) (рис. 1.48).

В полярных координатах уравнение этой линии будет:

или

Это выражение будет переменным верхним пределом во внутреннем интеграле по r.

Тогда

Ответ: .

Пример 3. Дано скалярное поле  и точка М0(1;2;3). Найти направление и величину наибольшей скорости возрастания поля в точке М0.

Решение. Известна связь, которая дается формулой (1.94):  Поэтому максимальное значение  будет иметь в направлении . Следовательно, найдем сначала :

но

Направляющие косинусы  дадут нам то уравнение, в котором  будет иметь максимальное значение:

Наибольшая скорость роста поля равна модулю градиента:

Ответ:  .

Пример 4. Найти векторные линии поля .

Решение. Согласно (1.95) составим систему дифференциальных уравнений векторных линий, зная :

.

Отсюда

Интегрируя систему, получим:

,

Таким образом, векторные линии данного поля представляют собой эллипсы с центром в точке (-0.5;0) и полуосями  и  :

расположенные в плоскостях параллельных плоскости xoy.

Пример 5. Вычислить поток векторного поля ; через , вырезанный из плоскости (Р):  координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которое образует с осью Ох острый угол; а также  по формуле Остроградского поток пирамиды, образовавшейся, присоединением к поверхности  боковых треугольников, которые лежат в координатных плоскостях (нормаль внешняя).

Решение. Начнем с построения рисунка.


Уравнение заданной плоскости лучше записать как уравнение в «отрезках»  (рис. 1.49).

Определим единичный вектор нормали , и образующий с осью ох острый угол. Помним, что коэффициенты при x, y, z в уравнении плоскости есть координаты нормального вектора к этой плоскости  Этот вектор имеет положительную проекцию на ось ох, следовательно, образует с этой осью острый угол:

.

Согласно формуле (1.101):

.

Найдем скалярное произведение :

.

Отсюда

.

Чтобы вычислить этот интеграл по поверхности , заменим его двойным интегралом по проекции D поверхности  на плоскость хОу. Элемент площади ds:

и на поверхности : .

Следовательно,

Вычислим поток этого же векторного поля по формуле Остроградского (1.103), для чего сначала найдем , используя формулу (1.104):

Тогда:

Ответ:

Пример 6. Вычислить циркуляцию Г поля  вдоль линии АВСА (рис. 1.49) непосредственно и по теореме Стокса.

Решение

а) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур К=АВ+ВС+СА является кусочно-гладкой линией, состоящей из трех гладких кусков: x + y = 4;  y + z = 4;  x + z = 4. По свойству аддитивности:

.

Вычислим каждое слагаемое правой части:

Суммируя полученные результаты, получим: Г = -16.

б) Вычисление циркуляции по теореме Стокса

Согласно (1.110):

В качестве поверхности S выберем часть плоскости x+y+z=4 (т.е. ). Найдем единичный вектор   (он найден в примере 5): , а также вектор ротор:

Тогда

Пример 7. Дано векторное поле . Требуется узнать: будет ли оно соленоидальным или потенциальным? В случае потенциальности поля найти его потенциальную функцию U(x,y,z).

Решение. Проверим условие соленоидальности, для чего найдем  кроме x=0, y=0, z=0. Поле в общем случае не соленоидальное.

Найдем вихрь поля:

Отсюда: поле потенциально во всем пространстве. Найдем его потенциал по формуле (1.115):

Проверка. Найдем :

Ответ: .