Решение типовых задач по анализу управления в ПС

Задача 4.1. В результате наблюдения в течение времени Т за производственной деятельностью подсистем ПС определены значения следующих параметров:

  и  

Ставится задача увеличить производительность ПС х0 на С % по отношению к имеющейся при минимальных затратах на реорганизацию ПС.

Решение.  1. Находится новое значение производительности ПС:

2. Решается система балансовых уравнений (4.10) при заданном  и находятся новые значения производительности  подсистем ПС  сбалансированные с :

3. Определяются значения коэффициентов посещения rk подсистем.

4. Строится ряд по убыванию из произведений rkvk:

                                    (4.12)

5. Если , то делается заключение, что имеющейся мощности у модуля недостаточно для обеспечения производительности ПС, равной  Необходимо ее увеличить в раз, где

Далее аналогичным образом проверяется, надо ли увеличивать и во сколько раз мощность последующих в ряду (4.12) модулей  ПС.

Если , то делается заключение, что мощность модуля  и последующих за ним в ряду (4.12) модулей ПС достаточна для обеспечения производительности ПС, равной

Так как по изложенному методу увеличивается мощность только тех подсистем ПС, которые действительно препятствуют повышению производительности ПС на С %, то суммарная величина затрат на требуемую реконструкцию подсистем ПС будет предельно минимальной.

Задача 4.2. Требуется сбалансировать коэффициенты загрузки подсистем ПС при условии, что производительность самой системы х0 не должна измениться.

Решение. Решение поставленной задачи будет достигнуто, если у каждой k подсистемы ПС коэффициент загрузки   будет равен , где   — максимально допустимое значение коэффициента загрузки k-й подсистемы. Если, на

пример, необходимое резервирование мощности k-й подсистемы не должно быть меньше 15 %, то = 0,85. На практике часто принимают

Увеличение коэффициента загрузки каждой kподсистемы ПС может быть достигнуто только в результате увеличения средней продолжительности выполнения одной работы vk (что идентично уменьшению мощности модуля Rk ПС): значения интенсивностей изменять нельзя, так как при  изменении значений хk,  может измениться производительность ПС х0.

Пусть  есть скорректированное значение , равное . Тогда имеем

откуда следует, что скорректированное значение средней продолжительности выполнения каждой работы в Rk ПС будет равно

Таким образом, за счет увеличения у каждой подсистемы Rk ПС значения параметра vk до  т.е. на величину

мощности всех подсистем ПС будут взаимно сбалансированы.

Решение данной задачи позволит в каждой подсистеме ПС выявить практически не используемые мощности, а следовательно, высвободить часть ранее выделенных капитальных вложений и в итоге повысить рентабельность работы ПС в целом за счет уменьшения себестоимости выпускаемой продукции:

где  dk  — средняя величина дохода, получаемого при использовании k-го     подразделения ПС в течение единицы времени; gk   —  средняя величина затрат, производимых в единицу времени при  использовании подразделения ПС Rk.

Задача 4.3. В результате исследования ПС для ее подсистем получено:

r1 = 1,5;            r2 = 3;             r3 = 10;             r4 = 5;

ρ1 = 0,4;           ρ2 = 0,7;          ρ3 = 0,6;           ρ4 = 0,6;

v1 = 10;            v2 = 20;            v3 = 15;           v4 = 30 (часов).

Требуется определить среднее время пребывания одной работы в ПС (с момента поступления в ПС  задания на ее выполнение до момента получения ее заказчиком), среднее количество работ, одновременно находящихся в очереди на выполнение в каждой подсистеме, и среднее  количество всех работ, одновременно находящихся в ПС.

Решение.  Согласно формулам (4.2) – (4.9) имеем:

ü среднее время ожидания в очереди в Rk ПС

ω1 = 6,6;            ω2 = 46,6;          ω3 = 1,5;           ω4 = 45 (часов);

ü среднее время пребывания каждой работы в ПС

u1 = 16,6;        u2 = 66,6;        u3 = 30;         u4 = 75;        u = 899,7 (часов);

ü среднюю производительность Rk ПС

x1 = 0,04;           x2 = 0,035;          x3 = 0,033;           x4 = 0,02;

ü среднее количество работ, находящихся в очереди на выполнение в ПС,

l1 = 0,264;           l2 = 1,635;           l3 = 0,495;            l4 = 0,9 (работ);

ü среднее количество работ, одновременно находящихся в ПС,

                         N = 5,485 (работ).

Задача 4.4.


В ПС выполняются два вида работ – плановые работы, поступающие от заказчиков по хоздоговорам, и работы, поступающие в оперативном режиме от вышестоящих организаций. Известны следующие данные:

ü для работ, поступающих в оперативном режиме, N΄ = 40 (среднее количество работ, одновременно находящихся в ПС и выполняемых в оперативном режиме):

ü для плановых работ

ü коэффициенты загрузки подсистем ПС:

ρ1 = 0,6;           ρ2 = 0,9;            ρ3 = 0,8.

Требуется определить х0 – производительность ПС по плановым работам.

Решение.  Относительно работ, поступающих в ПС в оперативном режиме, производительность подсистем ПС и ПС в целом будет равна:

                          (4.13)

Ввиду того, что коэффициенты загрузки  характеризуют суммарную загрузку Rk ПС,

Отсюда следует, что

Так как производительность ПС по плановым работам равна

то, используя выписанные выше формулы, окончательно находим

                                               (4.14)

Подставляя в формулы (4.13) и (4.14) числовые значения исходных данных, получим

Описанный алгоритм определения производительности ПС относительно плановых работ, имеющих более низкий приоритет, чем работы, поступающие в ПС в оперативном режиме, может быть легко обобщен и на случай, когда в ПС поступают работы трех и более видов (приоритетов).

Задача 4.5. Дана исследуемая система (ПС), состоящая из четырех подсистем, в которую поступает смесь различных работ. В результате наблюдения за работой ПС выявлены следующие исходные данные:

ü среднее время выполнения работ в каждой подсистеме ПС:

                v1 = 3;          v2 = 10;          v3 = 15;          v4 = 20 (часов);

ü частоты передачи работ из одной системы ПС в другую:

                g01 = 1;

                g10 = 0;        g11 = 0;          g12 = 0.5;       g13 = 0.2;       g14 = 0.3;

                g20 = 0;         g21 = 0;       g12 = 0. 5;        g23 = 0.4;       g24 = 0.6;

                g30 = 0.2;      g31 = 0.2;      g32 = 0.4;       g13 = 0.2;       g34 = 0.2;

                g40 = 0.4;      g41 = 0.1;      g42 = 0;          g43 = 0.5.

Требуется определить минимальное время нахождения работы в ПС u0 и максимальную производительность ПС u0.

Решение. Минимальное время нахождения работы в ПС определяется как среднее время нахождения работы в ПС при условии, что  ни к одной ее подсистеме нет очереди из работ, ожидающих начала выполнения, т.е. когда

Поэтому

                                                        (4.15)

Из формулы (4.15) следует, что для определения u0 достаточно знать только значения коэффициентов посещения  Они находятся из решения балансовых уравнений (4.11). Для заданной ПС система уравнений (4.11) записывается в следующем виде:

Из первых четырех уравнений выписанной системы уравнений следует:

                                                  (4.16)

откуда находим

                                      (4.17)

где

Найдя по формуле (4.17) значение r3 и подставив его в формулы (4.16), получим:

 r3 = 1.2;        r4 = 1.9;        r1 = 1.27;        r2 = 1.95.

Используя значения параметров rk и vk, по формуле (4.15) определяем

Для определения максимальной производительности исследуемой ПС воспользуемся следующим положением: производительность ПС будет максимальной, если хотя бы у одной ее подсистемы

Так как

то для указанной ПС должно выполняться равенство

Следовательно, для определения  необходимо предварительно найти

а затем по формуле, приведенной выше, вычислить .

Для рассматриваемой задачи получается =0,026 (часа).

Рассмотренные выше типовые задачи не охватывают всего множества задач анализа, которые могут возникнуть в каждой конкретной организации при анализе ее производственной деятельности. Однако они могут успешно использоваться в качестве исходных задач, в результате обобщения которых получаются новые задачи, полнее отвечающие целям исследования. Так, например, задачи 4 и 5 могут быть легко обобщены для случая, когда в ПС выполняются не один тип работ, а два и более с соответствующими им приоритетами в очередности поступления на выполнение.