1.1.3. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам) и его ВЫЧИСЛЕНИЕ

Естественные науки / Специальные главы высшей математики / 1.1.3. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам) и его ВЫЧИСЛЕНИЕ

Пусть на плоскости хОу задана дуга М₀М, которая имеет длину, и на ней задана функция Х(х, у) (рис. 1.1).

Выполним операции:

1) разобьём произвольно дугу М₀М на n частей точками М₀, М₁,… М_n= М;

2) в каждой дуге М_k_-1М_k выберем произвольно по точке и вычислим Х(N_k);

Рис. 1.1.

3) умножим на приращение ;

4) составим интегральную сумму:

; (1.9)

5) найдем предел суммы (1.9) при стремлении к нулю наибольшей из длин частных дуг (максимального диаметра разбиения ). Этот предел (в случае непрерывной функции Х(х, у) можно доказать, что существует) называется криволинейным интегралом от Х(х, у) по переменному х вдоль кривой М₀М и обозначается через

(1.10)

Аналогично определяется криволинейный интеграл от Y(x,y) по переменному у:

(1.11)

Если кривая М₀М задана в пространстве XYZ и на кривой заданы непрерывные функции Х(х, у, z), Y(х, у, z)и Z(х, у, z), то поступая подобно плоскому случаю, определяют криволинейные интегралы вдоль кривой М₀М:

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Вводят составной криволинейный интеграл как для плоского случая, так и пространственного и обозначают:

(1.15)

. (1.16)

Отметим, что из определения вытекают следующие свойства криволинейных интегралов второго рода (мы рассмотрим свойства на , но они имеют место и для интегралов (1.11) – (1.16)).

1) При перемене направления дуги (пути интегрирования) криволинейный интеграл изменит только свой знак:

2) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

3) Криволинейный интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме криволинейных интегралов слагаемых.

4) Если путь интегрирования М₀М разбить на части, например М₀А и АМ (свойство аддитивности), то (рис. 1.2,а)

. (1.17)

5) Криволинейный интеграл вдоль замкнутой кривой, взятый при заданном направлении обхода, не зависит от выбора начальной точки (рис. 1.2,б.).

а) б)

Рис. 1.2

Доказательство:

Правые части последних равенств равны, поэтому равны и левые части.

Перейдем к вопросу вычисления криволинейных интегралов по координатам.

Пусть направленная кривая К пространства задана параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t), , где функции x(t), y(t) и z(t) – имеют непрерывные производные по t и x = х(М₀), x_m= x(М). Тогда при нашем разбиении (см. определение (1.9),

точки М_к(x_k,y_k), соответствующие этим t, разобьют дугу М₀М также на n частей. По формуле Лагранжа получим:

где и .

Суммируя, найдем:

(1.18)

где левая часть (I.3.10) есть интегральная сумма для криволинейного интеграла от Х(х,у), а правая часть является интегральной суммой для определенного интеграла по переменной t. Перейдя к пределу при , получим:

(1.19)

Аналогично можно получить формулы и для всех других криволинейных интегралов. Запишем правило интегрирования для пространственного случая (для плоского случая рекомендуется сформулировать самостоятельно, подобно приведенному).

Правило: для вычисления криволинейного интеграла (1.16) следует в подынтегральном выражении заменить x, y, z, dx, dy, dz их выражениями из уравнений пути интегрирования и вычислить определенный интеграл от полученного выражения в пределах наименьшего и наибольшего изменения параметра:

(1.20)

Методическое руководство

1) На практике часто бывает необходимо составлять уравнения пути интегрирования, если имеют дело с прямолинейными участками его, тогда используют уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

(1.21)

приравняв эти отношения параметру t , получают связь x(t), y(t) и z(t), и соответствующие граничные его значения для расстановки пределов интегрирования.

2) Если кривая интегрирования плоская, то за параметр выбирают одну из координат.

Отметим, что в случае криволинейного интеграла второго рода механический смысл его следует из соотношения (1.20) и выражает работу в случае задания силового поля , т.е., когда X,Y,Z – проекции этой силы на оси координат.