Пусть функции  и  непрерывно дифференцируемы в области D (рис. 1.26), ограниченной замкнутой кривой К, тогда имеет место формула:

                                            (1.70)

Формулу (1.70) называется формулой Грина, она играет фундаментальную роль в векторном анализе.

Доказательство. Примем х за параметр. Тогда

   (1.71)

Аналогично находим:

                                                           (1.72)

Складывая почленно (1.70) и (1.72), получим формулу Грина:

Формула Грина связывает криволинейный интеграл по координатам с двойным интегралом по области, ограниченной замкнутым контуром К.

Пример 1

Написать и проверить формулу Грина для интеграла , где К: , ограничивающая круг D.

Решение. Имеем: . По формуле (1.70) находим:

                                      (1.73)

Перейдя к полярным координатам, вычислим двойной интеграл в  (1.73):

                           (1.74)

Вычислим интеграл левой части (1.73), введя параметр t в уравнение окружности :

               (1.75)

отсюда видно, что требования задачи удовлетворяются. Тем самым мы вычислили криволинейный интеграл через двойной.

Замечание.  С помощью формулы Грина можно вычислять площади плоских фигур. Таких формул приведем три:

1) ;   2) ;          3) .

Задачи для упражнений

1) Вывести формулы, записанные в замечании.

2) Написать и проверить формулу Грина для , где К – контур треугольника со сторонами x = 0,  y = 0,  x + y = a.

3) Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл , где K:  . Ответ: .

4) Показать, что  по любому замкнутому контуру К равен 0.

5) Вывести одну из формул, для вычисления площади с помощью криволинейного интеграла второго рода.