Возьмем поле и некоторую кривую AB (рис. 1.41). Пусть — радиус-вектор точки M на кривой.
Определение 1: криволинейный интеграл, взятый по некоторой направленной линии AB , называется линейным интегралом от вектора вдоль линии AB.
Определение 2: Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой кривой K, называется линейный интеграл по этой замкнутой кривой K, обозначаемый через Г и определяемый формулой:
. (1.106)
Если – силовое поле, то линейный интеграл от вектора равен работе сил поля при перемещении точки по кривой AB. В этом состоит физический смысл линейного интеграла (ранее мы называли криволинейным интегралом по координатам).
Определим еще одну важную характеристику теории поля, которую называют вихрем (ротором) векторного поля.
Возьмем в поле вектора точку (рис. 1.42). Пусть - достаточно малая поверхность, содержащая точку , К – контур этой поверхности, - нормаль к . Обход согласован с и является положительным, Вычислим циркуляцию .
Предположим, что существует
, (1.107)
где . Такой вектор обозначается и называется вихрем (ротором) векторного поля .
Говорят, что векторное поле порождает другое векторное поле – поле и является векторной характеристикой векторного поля. Вектор в данной точке поля обладает свойством: если нормаль к совподает с направлением , то циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией, при любом другом положении площадки .
Понятие вихря введено независимо от выбора системы координат, т.е. служит инвариантной формулой (1.107).
Для удобства запоминания вихрь вектора записывают в декартовой системе в виде символического определения:
. (1.108)
Раскрывая определитель по первой строке, будем иметь:
. (1.109)
Из (1.109) видно, что есть вектор. Если рассматривать векторное поле как поле скоростей частиц текущей жидкости, то ротор характеризует угловую скорость вращения малого объёма, окружающего точку. Поэтому характеризует вращательную способность поля .
Пример 1
Найти , если .
Решение. В нашем случае тогда
Пример 2
Найти , если .
Решение
.
Пример 3
Найти , где – линейные скорости точек вращающегося тела вокруг неподвижной точки с постоянной угловой скоростью ; .
Решение. Вектор в координатной форме учитывая, что запишем так:
.
Согласно (1.109):
.