1.6. Погрешность вычисления значений функции

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y = f(x), вызываемая достаточно малой погрешностью аргу­мента Dx, оценивается величиной :.

Если значения функции f(x) положительны, то для относи­тельной погрешности имеет место оценка:

.

Пример 1

Абсолютные погрешности синуса и косинуса находится по формулам:

D sin x = |cos x|×Dx,

D cos x = |sin x|×Dx, где x изменяется в радианах.

Погрешность вычисления значения функции нескольких переменных (общая формула для погрешности)

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y = f(x1, x2, x3, …, xn), вызываемая достаточно малыми погрешно­стями Dx1, Dx2,…,Dx аргументов x1, x2, x3,…,xn, оценивается вели­чиной:

.

Пример 2

Если значения функции положительны, то для относитель­ной погрешности имеет место оценка:

.

Пример 3

Вычислить значение функции f, абсолютную и от­носительную погрешности вычисления f, если

Сначала найдем относительную погрешность вычисления значения f, а затем абсолютную погрешность. Функция f положительна и дифференцируема, поэтому воспользуемся формулой:

;      ;

;

.

Найдем относительные погрешности аргументов:

; .

Относительная погрешность является величиной порядка 1 %, следовательно, значение f содержит 2 верные значащие цифры. Следовательно, в записи f  нужно указать три значащие цифры, две из которых будут верными  и одна сомнительная. Вычислим xy2z3 = 801133.57, оставляя три значащие цифры, получим: f = 801*103. Зная значение f и её относительную погрешность, найдем абсолютную погрешность:

.