2.2.5. Гармонические функции и их связь с аналитическими функциями

Естественные науки / Специальные главы высшей математики / 2.2.5. Гармонические функции и их связь с аналитическими функциями

Пусть имеем аналитическую в области D функцию . Тогда она удовлетворяет условиям Даламбера-Эйлера:

Дифференцируя (а) по х, а (б) по у и складывая, получим:

. (2.36)

Дифференцируя (а) по у, а (б) по х и вычитая, будем иметь:

. (2.37)

Равенства (2.36) и (2.37) говорят о том, что функции и , являющиеся соответственно действительной и мнимой частями аналитической функции в некоторой области , в той же области являются решениями уравнения Лапласа ().

Определение. Функция, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической функцией.

Таким образом, мы доказали, что действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими.

Это не значит, что если и есть произвольно выбранные гармонические функции, то – аналитическая, так как условия (2.31) не всегда будут выполняться.

Возникает задача построения аналитической функции по заданию одной из гармонических функций или .

Для решения задачи, задав, например, мнимую часть найдем, используя условия (2.31).

Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям (2.31) и, следовательно, являющиеся действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции называются сопряженной парой гармонических функций.

Отметим, что функция определяется с точностью до постоянного слагаемого. Для определения постоянной задают дополнительные условия в виде значения функции в фиксированной точке.

Пример

Построить аналитическую функцию , если известно, что ее действительная часть .

Решение. Проверим сначала, что гармоническая на всей плоскости функция:

Из условий (2.31) найдем гармонически сопряженную ей функцию :

Проинтегрируем первое уравнение по у, считая х постоянным, получим:

Используем второе условие:

найдем, что

откуда , где С – постоянная интегрирования.

Итак,

По условию задачи , значит, С=1, и мы имеем:

Задачи для упражнений

1) Проверить, выполняются ли условия Даламбера-Эйлера, и, если они выполняются, найти производные функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .