Точка z₀, в которой функция не аналитическая, называется особой точкой функции.

Пусть w= f(z) – аналитическая в окрестности точки z₀. В этом случае точка z₀ называется изолированной особой точкой функции w = f(z).

Различают три типа изолированных особых точек однозначной функции:

1) устранимую, когда существует конечный

;                                                          (2.81)

2) полюс К-го  порядка, если

.                                               (2.82)

Если    k = 1 – полюс простой или первого порядка функции. Из определения полюса следует, что ;

3) существенно особую, если она не является ни устранимой, ни полюсом (т.е.  не существует ни конечный, ни бесконечный).

Примеры особых точек:.

1)  – устранимая, так как

2)  – простой полюс, так как

3)  – полюс 2-го порядка, так как

4)  – существенно особая, так как не существует предел, если

устремить z ® 0 по разным путям, например, вдоль оси х справа и слева к нулю (проделайте это).

Задачи для упражнений

1) Установить характер изолированных особых точек:

.

Ответы: