2.6.    Обратное Z-преобразование

Определив дискретные передаточные функции  и  и, зная Z-изображение входного сигнала, можно вычислить Z-изображение выходного сигнала или сигнала ошибки:

    и    .

По Z-изображениям сигналов системы могут быть найдены соответствующие решетчатые функции. Такая операция представляет собой обратное Z-преобразование, символическое обозначение которой – .

Не следует забывать, что получаемая в результате обратного Z-преобразования решетчатая функция  определяет значения непрерывного сигнала  только в дискретные моменты времени . Поэтому для полного описания функции  необходимо использовать дополнительную информацию о поведении системы, либо применять методы, позволяющие вычислить величину  внутри интервалов квантования. К числу таких методов относятся рассматриваемые в последующих разделах данного курса методы дробного квантования и модифицированного Z-преобразования.

По изображению  произвольного вида значения  могут быть вычислены путем разложения   в ряд Лорана (в ряд по убывающим степеням z):

                        (2.14)

Сравнивая приведенный ряд с выражением (2.2), получим:

     и т.д.

Поскольку для каждого изображения  разложение  в ряд (2.14) является единственным, оно может быть осуществлено любым способом.

Наиболее простым приемом нахождения коэффициентов ряда (2.14) в случае, когда  представлено в виде дробно-рациональной функции

                             (2.15)

является деление числителя  на знаменатель.

Пример 14

Необходимо определить решетчатую переходную функцию  системы с передаточной функцией:

Z-изображение решетчатой переходной функции:

В результате деления полинома, стоящего в числителе , на полином в знаменателе, получим:

Коэффициенты полученного степенного ряда определяют следующие дискреты  (рис. 2.9):

;   ;           и т.д.

Использование предложенного метода расчета дискрет решетчатой функции не ограничено какими-либо условиями к виду изображения , но не дает возможности записать выражение для  в виде компактной функции натурального аргумента .

Такая функция может быть получена на основании формулы обратного Z-преобразования (формулы обращения):

,                   (2.16)

где замкнутый контур интегрирования Г на плоскости Z охватывает особые точки .

Вычисление интеграла (2.16) может быть осуществлено с использованием формулы Коши в полюсах :

.                                              (2.17)

Вычет в простом полюсе  находится по формуле:

,                                     (2.18)

а вычет в полюсе кратности S – по формуле:

.                     (2.19)

Если полюса изображения (2.15) простые, , а полином в числителе может быть представлен в виде , то выражение (2.17) преобразуется к виду:

.                                               (2.20)

Пример 15

Необходимо определить выражение для решетчатой функции , если

.

Используя выражение (2.20), имеем:

       

    

          

Рассчитанные по полученному выражению значения дискрет, как и следовало ожидать, совпадают с вычисленными в примере 14.

Если все условия, ограничивающие применение выражения (2.20), выполняются, за исключением того, что полином  не имеет нулевого корня, то искомая решетчатая функция определяется по формуле:

,                                             (2.21)

которую можно использовать для .



При этом величину  следует находить по теореме о начальном значении.

Пример 16

Необходимо определить выражение для решетчатой функции, если

.

Начальное значение решетчатой функции равно:

.

Для определения предыдущих значений по выражению (2.21) полагаем:

   

          

В соответствии с полученным выражением для  имеем:

;                и     т.д.

Если число нулей равно числу полюсов функций (2.15) (порядок полиномов и равны), следует, разделив на , представить  в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального остатка. При этом первое слагаемое определяет величину , а по второму, используя формулу (2.21), можно вычислить искомую решетчатую функцию.

Пример 17

Необходимо определить выражение для решетчатой переходной функции разомкнутой дискретной САУ, передаточная функция ПНЧ которой равна:

Передаточная функция дискретной системы:

.

Z – изображение переходной функции:

.

В соответствии с формулой (2.21) можно записать:

*

;

;

.

Начальное значение решетчатой функции:

.

Для справедливо:

.

Пусть , тогда значения дискрет:

и т.д.

На рис. 2.10 приведен график решетчатой функции и возможный вид графика функции (штриховая линия)