Применение формулы (3.1) непосредственно бывает весьма громоздко. Теоремы, которые рассмотрим далее, значительно облегчают решение задачи нахождения изображений большого числа разнообразных функций. Важно то, что они облегчают решать также обратную задачу – отыскания оригиналов по изображениям.

1) Теорема о дифференцировании изображения

Если  .

Доказательство. Функция . Применим (3.1), получим:

.

Итак,

.                                                   (3.28)

Методическое руководство

Умножение оригинала на независимую переменную влечет в области изображений взятие производной по переменной p с последующим умножением результата на минус единицу.

Поэтому, умножив  на t, в результате получим:

.

Продолжая этот процесс, получим:

.                                            (3.29)

Пример 1

Найти изображение .

Решение. Так как , то по (1.4.7) получим:

.

2) Теорема умножения (Э. Бореля) (теорема о свертке):если , то

.      (3.30)

Интеграл  называется сверткой функций  и  и обозначается: .

Если f₁ и f₂  – оригиналы, то свертка их является оригиналом. Найдем изображение, применяя (3.1):

 .

Меняя порядок интегрирования (область интегрирования изображена на (рис. 3.4), получим:

Пример 2

Найти оригинал, если .

Решение. Выполним тождественное преобразование, получим:

По теореме о свертке найдем:

.

3) Первая теорема разложения: если F(p) разлагается в степенной ряд по отрицательным степеням p с ненулевым радиусом сходимости, т.е.

,                                                     (3.31)

то оригиналом такой функции также является степенной ряд по положительным степеням t –

                                                              (3.32)

который сходится при всех

.                                           (3.33)

Подробное доказательство не станем приводить. Доказательство приводит к утверждению, что ряд (3.32) равномерно сходится при всех t > 0 , и его сумма есть .

4) Вторая теорема разложения: если  правильная несократимая рациональная дробь, знаменатель Q(p) который имеет корни  соответственно кратностей , то оригинал определяется  по формуле:

   (3.34)

Доказательство. По формуле обращения (3.1)

.                                      (3.35)

Учитывая определение вычета относительно кратного полюса, сразу получим доказательство теоремы. Если все корни Q(p) простые (), то в результате получим:

        (3.36)

Пример 3

Найти оригинал изображения .

Решение. Определим корни знаменателя :

. Корень 0 – третьей кратности, а корни 1 и 2, простые. Для нахождения оригинала используем формулы (3.34) и (3.36). Здесь r₁ = 3,  r₂ = 1,  r₃ = 1.

Следовательно,

Методическое руководство

На практике часто не используют теорию вычетов, а разлагают дробь на сумму простейших, как это делали в интегральном исчислении при интегрировании дробно-рациональных функций.

Решение можно оформлять и по-другому.

Пример 4

Найти оригинал  для изображения .

Решение.  – правильная рациональная несократимая дробь, причем . Корни знаменателя простые:  значит можно применить вторую теорему разложения в виде (3.36). Очевидно, . Все другие действия сведем в таблицу 3.2.

Таблица 3.2