3.6. Эквивалентность процентных ставок

При расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, часто требуется определить эквивалентные процентные ставки – такие процентные ставки разного вида, применение которых при равных начальных условиях дает равные финансовые результаты. Такие ставки необходимо знать в случаях, если возникает необходимость выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентности процентных ставок применяют уравнения эквивалентности, для составления которых применяется следующий принцип. Выбирают величину, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (чаще всего – наращенную сумму S). На основе равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, после преобразования которого получают соотношение, показывающее зависимость между процентными ставками различного вида. Соотношения, выражающие зависимость между двумя различными процентными ставками, можно получить путем преобразования формул (3.1) – (3.52).

Обозначения, встречающиеся в формулах, приведенных ниже:

i – простая годовая ставка ссудного процента;

d –  простая годовая ставка ссудного процента;

iс – сложная годовая ставка ссудного процента; 

dс – сложная годовая учетная ставка;

j – номинальная ставка судного процента; 

f – номинальная учетная ставка.

Преобразованные формулы принимают следующий вид:

;                                                        (3.53)

                                                          (3.54)

;                                                 (3.55)

,                                                (3.56)

.                                                 (3.57)

;                                                 (3.58)

,                                                (3.59)

.                                                   (3.60)

Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности:

;                                               (3.61)

.                                                 (3.62)

Годовая ставка сложных процентов, полученная по формуле (3.61), эквивалентная

номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов.



Ее полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции или сравнить процентные ставки в случае, если используются различные интервалы начисления. Значение эффективной процентной ставки выше значения номинальной, совпадение ставок происходит при m = 1.

;                                                   (3.63)

.                                                    (3.64)

Зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками получают аналогичным образом. Например, требуется рассчитать, какова должна быть сложная учетная ставка dc, чтобы сумма Р1, вложенная под эту ставку на n1 лет, достигла той же величины, что и сумма Р2, вложенная под сложную ставку ссудного процента ic на n2 лет? Поскольку финансовые результаты обеих операций должны быть равны, составляем такое уравнение эквивалентности:

.

Отсюда

                                         (3.65)

Решение уравнения относительно i:

.                                        (3.66)

Аналогичные зависимости можно получить для любых видов процентных ставок. Принцип эквивалентности также используют при решении вопросов финансовой эквивалентности платежей. Например, требуется определить, что выгоднее: выплатить сумму S1 через n1 лет или сумму S2 через n2 лет? Считаем, что S1 < S2 и n1 < n2.

В зависимости от размера процентной ставки, под которую могут быть вложены деньги, суммы S1 и S2 имеют различные величины P1 и P2. В примере примем сложную ставку ссудного процента.

, .

Очевидно, что для ic = 0 S1 = P1 и S2 = P2. В этом случае выгоднее выплачивать меньшую сумму S1. Поскольку n1 < n2, для достаточно больших значений ic будет выполняться условие Р1 > Р2. В этом случае найдется значение i0 – уравнивающая ставка, при которой значения обеих сумм  совпадают, то есть

,

откуда

.                                           (3.67)

Для всех значений ic < i0 предпочтительнее вариант с меньшей суммой и меньшим сроком, а для ic > i0 – с большими. При ic = i0 финансовые результаты обеих операций эквивалентны.