4.4. Решение Даламбера для неограниченной струны

Естественные науки / Специальные главы высшей математики / 4.4. Решение Даламбера для неограниченной струны

Рассмотрим неограниченную струну . Уравнение свободных колебаний однородной струны имеет вид

. (4.28)

Положим

(4.29)

Видно, что x – at = C₁, x + at = C₂ – есть характеристики уравнения (4.28). Это уравнение в новых переменных запишется в виде:

Из последнего имеем:

где – произвольная функция . Интегрируя это уравнение по , найдем:

где – произвольная функция от . Положим

получим:

Возвращаясь к старым переменным х и t, будем иметь:

. (4.30)

Решение (4.30) уравнения (4.28) называется решением Даламбера (методом характеристик).

Пусть требуется найти решение уравнения (4.28), удовлетворяющее начальным условиям:

. (4.31)

Ввиду того, что струна бесконечная функции и заданы в . В решении (4.30) нашего уравнения нужно выбрать функции и так, чтобы удовлетворить начальным условиям (I.4.4). Из начальных условий (4.31) имеем

откуда, интегрируя второе равенство, получим

(I.4.5)

где С – произвольная постоянная.

Из равенства (4.32) найдем:

(4.33)

Подставим (4.33) в (4.30), получим:

или окончательно

. (4.34)

Формула (4.34) даёт решения задачи Коши, если имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а – до первого. Задача Коши поставлена корректно, а решение её единственное. Это видно из вывода формулы Даламбера.