Пусть на отрезке [a, b] задана сетка  , в узлах которой заданы значения: ,   (где  – некоторая функция). Требуется построить функцию  такую, что

1) ,              ;

2)  достаточно близка к  на отрезке [a, b].

Отметим, что в литературе известны другие, близкие к этой, постановки задачи. Во многих постановках задачи сразу требуется, чтобы  была непрерывной функцией, часто опускается второе условие.

Задача интерполяции имеет множество решений, если нет определённых ограничений для функции , в противном случае можно получить задачу, имеющую единственное решение. При интерполяции возникает два основных вопроса:

1) Как построить?

2) Как оценить погрешность: ?

Рассмотрим частный случай, когда  – полином степени n, то есть

.

Интерполяция полиномами достаточно естественна и опирается на аппроксимационную теорему Вейерштрасса (1885 г).

Теорема

Если непрерывная функция на конечном замкнутом интервале , то  для любого  существует полином  степени  такой, что

.

Но отметим очень важный факт: в теореме говорится о некотором полиноме степени n, а не об интерполяционном полиноме.