7.4.    Реализация цифровых регуляторов импульсными фильтрами

Импульсный фильтр (ИФ) представляет собой пассивный электрический четырехполюсник, включенный в систему совместно с устройствами выборки и хранения дискретных значений сигналов.

Передаточная функция регулятора при последовательном включении ИФ (рис. 7.7) равна:

откуда

                                (7.5)

Задавшись требуемой передаточной функцией , можно определить соответствующую передаточную функцию  и рассчитать параметры схемы, обеспечивающей ее аппаратную реализацию.

Если ИФ построен на базе RC-четырехполюсника, то все полюса передаточной функции  простые и отрицательные, а нули могут быть произвольными. В этом случае  допускает следующее представление:

где  – константы; (-) – полюса ; .

Тогда

и

Сравнивая последнее выражение с выражением (7.5), можно сделать вывод о том, что передаточная функция  может быть реализована последовательным ИФ на базе RC-четырехполюсника, если у :

· порядок знаменателя не меньше порядка числителя;

· значения нулей являются произвольными, а полюса должны быть действительными, простыми, положительными и меньше единицы.

В дальнейшем полюса, удовлетворяющие указанным условиям, определим как реализуемые полюса. В отличие от них, кратные или комплексные полюса, вещественные неположительные полюса, а также положительные полюса, модули которых больше или равны единице, относим к нереализуемым полюсам.

Пример 29

Необходимо осуществить реализацию цифрового регулятора с помощью последовательного ИФ, если:

Поскольку сформулированные требования к  выполняются, она может быть реализована в виде последовательного ИФ на базе RC-четырехполюсника.

Согласно выражению (7.5) имеем:

Разложив последнее выражение на элементарные дроби, получим:

или, полагая , вычисляем значение а:

.

Следовательно:

.

Выполнив обратное Z-преобразование, получим:

т.е.

Указанная передаточная функция ИФ практически реализуется в виде RC-четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 7.8.

Иной подход к формированию структуры цифрового регулятора связан с включением ИФ в цепь обратной связи (рис. 7.9).

В этом случае передаточная функция регулятора равна:

                                      (7.6)

откуда

                                      (7.7)

Поскольку передаточная функция  должна быть физически реализуемой, т.е. реакция на выходе фильтра не должна опережать вызвавшее ее воздействие, то Z-изображение:

также должно быть физически реализуемым.



Следовательно, для Z-изображения:

где S, R – натуральные числа, выполняется условие . При этом выражение (7.6) можно записать следующим образом:

На основании последнего выражения делаем заключение, что при включении ИФ в цепь обратной связи  имеет одинаковое число нулей и полюсов. Кроме того, из выражения (7.7) следует, что полюса  определяются полиномом, стоящим в числителе передаточной функции , т.е. ее нулями.

Поскольку при построении ИФ на базе RC-схемы полюса  являются простыми и отрицательными, нули  должны быть действительными, простыми, положительными и меньшими единицы. Такие нули относятся к реализуемым. К числу нереализуемых нулей относятся те, для которых не выполняется хотя бы одно из пере

численных условий. На полюса  при такой структуре регулятора ограничения не накладываются, они могут быть произвольными.

Пример 30

Необходимо осуществить реализацию цифрового регулятора в виде ИФ, если:

Необходимо отметить, что реализация регулятора с приведенной передаточной функцией возможна только с использованием ИФ в цепи обратной связи. Согласно выражению (7.4), имеем:

= ,

откуда

 

и

.

Реализация ИФ в виде RC-схемы приведена на рис. 7.10. 

Ограничения, связанные с реализуемостью нулей и полюсов , существенно сокращают область использования рассмотренных ИФ. Применение комбинированной схемы ИФ, структура которой приведена на рис. 7.11, обеспечивает реализацию произвольной передаточной функции , если для нее выполняется условие (7.4).

Передаточная функция комбинированного ИФ:

Необходимо представить эту передаточную функцию в виде произведения:

,

где  и .

При этом в  включаются только реализуемые полюса, а в - только реализуемые нули. Кроме того, число нулей и число полюсов передаточной функции  должны совпадать.

Пример 31

Необходимо осуществить реализацию цифрового регулятора в виде ИФ, если:

В приведенной передаточной функции число реализуемых полюсов совпадает с числом нереализуемых нулей, а число нереализуемых полюсов – с числом реализуемых нулей. В этом случае разложение осуществим следующим образом:

             и             

Приме 32

Необходимо осуществить реализацию цифрового регулятора в виде ИФ, если:

Приведенный вариант передаточной функции является более общим по сравнению с рассмотренным в примере 31. Для ее реализации с помощью комбинированного ИФ на базе RC- четырехполюсника необходимо ввести в дополнительные реализуемые нули и полюса, представив передаточную функцию в виде:

,

где a и b, не равные между собой действительные числа; 0<a<1; 0<b<1. Кроме того, a и b не равны другим полюсам и нулям .