Пример 1. Изменить порядок интегрирования в интеграле: 
. Область интегрирования изобразить на рисунке.
Решение. Выясним вид области интегрирования. Она восстанавливается по рисунку. Так как внутренний интеграл взят по у, то пределы внутреннего интеграла были получены из уравнений 
и 
; эти линии являются частью границы области интегрирования. Пределы внешнего интеграла постоянны и указывают промежуток изменения переменной х в области: 
. Для нахождения пределов для внешнего интеграла решим совместно систему:
Из системы получим:
и 
.
Вторая точка 
не принадлежит области интегрирования. Начертим гиперболу 
и прямую 
и учтем, что 
. Получим область интегрирования АВС (рис. 1.47).
Если изменим порядок интегрирования, то внешний интеграл надо брать по переменной у, а внутренний – по х. Из рис. 1.47 видно, что прямые, параллельные оси Ох, все входят в область АВС на СА (х=1), а выходят из неё и на прямой , и на гиперболе 
. Значит, область надо разбить на две. Для этого проводим прямую BD, параллельную оси Ох. Найдем ординаты точек C, D, A. Получим: C(1;1); D(1; 
); A(1; 
). Тогда
.
Пример 2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линией 
. Сделать схематический чертеж.
Решение. Уравнение линии преобразуем к виду:
выделив в левой части заданного уравнения полный квадрат относительно переменной х. Откуда видим, что имеем окружность радиуса 3 с центром в точке С(3;0) (рис. 1.48).
В полярных координатах уравнение этой линии будет:
или
Это выражение будет переменным верхним пределом во внутреннем интеграле по r.
Тогда
Ответ: 
.
Пример 3. Дано скалярное поле 
и точка М0(1;2;3). Найти направление и величину наибольшей скорости возрастания поля в точке М0.
Решение. Известна связь, которая дается формулой (1.94): 
Поэтому максимальное значение 
будет иметь в направлении 
. Следовательно, найдем сначала :
но
Направляющие косинусы 
дадут нам то уравнение, в котором 
будет иметь максимальное значение:
Наибольшая скорость роста поля равна модулю градиента:
Ответ: 
.
Пример 4. Найти векторные линии поля 
.
Решение. Согласно (1.95) составим систему дифференциальных уравнений векторных линий, зная 
:
.
Отсюда
Интегрируя систему, получим:
,
Таким образом, векторные линии данного поля представляют собой эллипсы с центром в точке (-0.5;0) и полуосями 
и 
:
расположенные в плоскостях параллельных плоскости xoy.
Пример 5. Вычислить поток векторного поля 
; через 
, вырезанный из плоскости (Р): 
координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которое образует с осью Ох острый угол; а также по формуле Остроградского поток пирамиды, образовавшейся, присоединением к поверхности боковых треугольников, которые лежат в координатных плоскостях (нормаль внешняя).
Решение. Начнем с построения рисунка. Уравнение заданной плоскости лучше записать как уравнение в «отрезках» 
(рис. 1.49).
Определим единичный вектор нормали 
, и образующий с осью ох острый угол. Помним, что коэффициенты при x, y, z в уравнении плоскости есть координаты нормального вектора к этой плоскости 
Этот вектор имеет положительную проекцию на ось ох, следовательно, образует с этой осью острый угол:
.
Согласно формуле (1.101):
.
Найдем скалярное произведение 
:
.
Отсюда
.
Чтобы вычислить этот интеграл по поверхности 
, заменим его двойным интегралом по проекции D поверхности на плоскость хОу. Элемент площади ds:
и на поверхности : 
.
Следовательно,
Вычислим поток этого же векторного поля по формуле Остроградского (1.103), для чего сначала найдем 
, используя формулу (1.104):
Тогда:
Ответ: 
Пример 6. Вычислить циркуляцию Г поля 
вдоль линии АВСА (рис. 1.49) непосредственно и по теореме Стокса.
Решение
а) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур К=АВ+ВС+СА является кусочно-гладкой линией, состоящей из трех гладких кусков: x + y = 4; y + z = 4; x + z = 4. По свойству аддитивности:
.
Вычислим каждое слагаемое правой части:
Суммируя полученные результаты, получим: Г = -16.
б) Вычисление циркуляции по теореме Стокса
Согласно (1.110):
В качестве поверхности S выберем часть плоскости x+y+z=4 (т.е. 
). Найдем единичный вектор 
(он найден в примере 5): 
, а также вектор ротор:
Тогда 
Пример 7. Дано векторное поле 
. Требуется узнать: будет ли оно соленоидальным или потенциальным? В случае потенциальности поля найти его потенциальную функцию U(x,y,z).
Решение. Проверим условие соленоидальности, для чего найдем 
кроме x=0, y=0, z=0. Поле в общем случае не соленоидальное.
Найдем вихрь поля:
Отсюда: поле потенциально во всем пространстве. Найдем его потенциал по формуле (1.115):
Проверка. Найдем 
:
Ответ: 
.