Для повышения точности измерений рекомендуется производить не одно, а несколько измерений одной и той же величины C при одних и тех же условиях. При многократных измерениях погрешность измерения от случайных ошибок уменьшается в  раз, где n – число измерений.

На основе закона нормального распределения случайных величин можно многократным измерением одних и тех же величин одним и тем же измерительным средством уменьшить влияние случайных ошибок, так как они усредняются, и в итоге повышается точность результата измерения.

Это действие усреднения результатов многократных измерений подтверждается народной пословицей «семь раз отмерь – один раз отрежь». Пословица обращает внимание на то, что однократное «отмеривание» может быть неточным, а семикратное «отмеривание» предохраняет от промахов.

Количественную оценку рассеяния результатов в ряду измерений вследствие действия случайных погрешностей обычно получают после введения поправок на действие систематических погрешностей.

Оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть:

· размах;

· средняя   арифметическая погрешность (по модулю);

· средняя квадратическая погрешность или стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение, экспериментальное среднее квадратическое отклонение);

· доверительные границы погрешности (доверительная граница или доверительная погрешность).

Размах – это оценка R_n рассеяния результатов единичных измерений физической величины, образующих ряд (или выборку из n измерений), вычисляемая по формуле          

R_n = Х_max – X_min,

где Х_max  и Х_min – наибольшее и наименьшее значения физической величины в данном ряду измерений.

Рассеяние обычно обусловлено проявлением случайных причин при измерении и носит вероятностный характер.

Проведя несколько повторных измерений одной и той же величины и получив различные результаты X_i, определяют среднее арифметическое значение ряда измерений   и принимают его за истинное значение измеряемой величины  C_ист, т.е. принимают  C_ист = :

=  ,

где n – число единичных измерений в ряду.

Средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений – это оценка S рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около их среднего значения, вычисляемая по формуле    

S= ,

где Х_i – результат i-го единичного измерения; `Х  — среднее арифметическое значение измеряемой величины из n единичных результатов.

На практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение – (СКО). С точки зрения упорядочения совокупности терминов, родовым среди которых является термин «погрешность измерения», целесообразно применять термин «средняя квадратическая погрешность» (СКП). При обработке ряда результатов измерений, свободных от систематических погрешностей, СКП и СКО являются одинаковой оценкой рассеяния результатов единичных измерений.

Ценность результата многократных измерений значительно повышается, если кроме среднего арифметического значения  будет определена средняя квадратическая погрешность среднего арифметического в виде  S_`Х,  которая зависит от значения S и количества проведения измерений n:    

S_`Х  =  = .  

При ответственных измерениях проводят ряд повторных измерений  и на основе полученных результатов всех измерений подсчитывают среднее арифметическое значение  и среднюю квадратическую погрешность S, а потом и погрешность среднего арифметического S_`Х.   

Доверительные границы погрешности результата измерений – это наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений. 

Доверительные границы распределения вычисляются как   ± t S,  ± t S_{`Х</sub>,  где  S, S<sub>`Х}  – средние квадратические погрешности соответственно единичного и среднего арифметического результатов измерений; t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений n.   

t = 1  при  Р = 35 %;

t = 2  при  Р = 94,5 %;

t = 3  при  Р = 99,73 %.

Для нормального закона распределения случайных величин используется t = 3.

Таким образом, результат измерения или истинное значение измеряемой величины  X_ист  представляется так:  

X_ист  =  ± 3 S_`Х   или   X_ист =  ± .

Полученный результат измерения не является одним конкретным числом, а представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью Р находится истинное значение измеряемой величины.

Пример. Для определения размера отверстия опытной детали измерили его нутромером повышенной точности  10 раз (n = 10). При подсчете получили   = 60,012 мм  и  S = 0,00115 мм. Истинное значение размера отверстия детали представится так:     

X_ист = 60,012 ±  = 60,012 ± 0,0011 мм.

Результат расчета показывает, что истинное значение размера отверстия опытной детали определено с точностью  ± 1,1 мкм  и с вероятностью 0,9973, т.е. только в 0,27 %  случаев может оказаться, что погрешность будет не 1,1 мкм.

В случае многократных повторных измерений одной и той же величины одним и тем же методом измерения и при отсутствии систематических погрешностей за предельную погрешность измерения в ряду измерений, обозначаемую D_пр, принимается значение, равное  ± 3 S. Так, если бы целью десятикратных измерений являлось определение предельной погрешности данного метода измерения, то эта погрешность для любого отдельного измерения будет равна:  D_пр = ± 3 S = ± 3 × 0,0011 = ± 0,003 мм.

Если при многократных измерениях появится погрешность больше   3 S, то такую погрешность считают грубой, и результат измерения с такой погрешностью отбрасывают.

Задания к разделу 8: Ответить на вопросы по своему варианту (номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки).