1.1. Элементы и множества

Человеческое мышление устроено так, что мир представляется состоящим из отдельных «объектов». Философам давно известно, что мир – единое неразрывное целое, и выделение в нем объектов – это не более чем произвольный акт нашего мышления, позволяющий сформировать доступную для рационального анализа картину. Но как бы там ни было, выделение объектов и их совокупностей – естественный способ организации нашего мышления, поэтому не удивительно, что он лежит в основе главного инструмента описания точного знания – математики.

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. О множестве известно как минимум, что оно состоит из элементов. Для определенности примем следующие формулировки.

Определение. Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.

Определение. Под множеством понимают объединение в единое целое определенных вполне различаемых предметов (объектов), которые при этом называются элементами образуемого ими множества.

Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …; а элементы множеств – строчными буквами: a, b, c, … .

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадлежит М: . В противном случае говорят, что х не принадлежит М:  .

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику  Г. Кантору, существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет, мыслится как единое целое. Что касается самих предметов, которые могут входить в множество, то относительно них существует значительная свобода.

Пример 1. Это может быть множество студентов, присутствующих на лекции, множество четных чисел и т. д.

Определение. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Если А является подмножеством В и В не является подмножеством А, то говорят, что А является строгим (собственным) подмножеством В.

В первом случае обозначают, во втором случае   .

Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым , оно является подмножеством любого множества. Множество U называется универсальным, то есть все рассматриваемые множества являются его подмножеством.

Рассмотрим два определения равенства множеств.

Определение.


Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, пишут А=В, – в противном случае.

Определение. Множества А и В считаются равными, если

Способы задания множеств:

· перечислением элементов: М={a1, a2, …, ak}, т. е. списком своих элементов;

· характеристическим предикатом: М={x | P(x)} (описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы);

· порождающей процедурой: M={ x | x=f}, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки.

Замечание. При задании множеств перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. Перечислением можно задавать только конечные множества (число элементов множества конечно, в противном случае множество называется бесконечным). Характеристический предикат – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения или процедуры, возвращающей логическое значение. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Порождающая процедура – это процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества. Бесконечные множества задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой.

Пример 2.

1) М={1, 2, 3, 4} – перечисление элементов множества.

2) - характеристический предикат.

3) Числа Фибоначчи задаются условиями (порождающей процедурой):

а1=1, а2=2, an=an-1+an-2 для n>2.

Определение. Мощность конечного множества А  — это число его элементов.

Мощность множества обозначают  |A|.

Пример 3.

||=0, |{}|=1.

Определение. Множества называются равномощными, если их мощности совпадают.

Определение. Множество всех подмножеств множества А называется булеаном P(A).

Известно, что если множество А содержит n элементов, то множество P(A) содержит 2n элементов. В связи с этим используется также обозначение множества-степени множества А в виде 2А.

Пример 4.

А={0, 1, 2}, P(A)={ , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}.