1.2.7. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть в пространстве XYZ задано тело V. Известно, что масса его задается формулой:

,

где       f(P)=f(x, y, z) – плотность.

Введем прямоугольную сетку с целью выражения бесконечно малого объема dv, разбив тело V системой параллельных плоскостей (рис. 1.19), получим:

.                                   (1.61)

Тройной интеграл теперь записывается так:

                 (1.62)

Чтобы свести тройной интеграл к трехкратному (повторному), поступаем так, как это было изложено для двойного интеграла. Предположим, что тело V ограничено поверхностями z = z1(x, y) – снизу и z = z2(x, y) – сверху и цилиндрической поверхностью с боков (её может не быть). Функции z1(x, y) и z2(x, y) заданы в области D – проекции тела V на плоскость оси xОz. Каждая прямая, параллельная оси Оz и проходящая через внутреннюю точку D, пересекает границу V в двух точках – точке входа на z = z1(x, y) и точке выхода на поверхность        z = z2(x, y) (рис. 1.20).

Возьмем бесконечно малый элемент с высотой dz и проекцией  на плоскость xОy, его масса будет:

.

Чтобы найти массу «столбика» надо «просуммировать» все такие элементы:

.

Для определения массы всего тела V, нужно «просуммировать» массы всех «столбиков»:

       .    (1.63)

Сравнение (1.63) с (1.62) дает формулу:

                                 (1.64)

Методическое руководство

Расстановка пределов обычно проводится в следующем порядке:  внешний интеграл имеет постоянные пределы а и b; далее для внутреннего двойного интеграла — от точки входа  до точки выхода ; для внутреннего тройного интеграла — от точки входа до точки выхода.

Отметим, что имеет место операция изменения порядка интегрирования.


Первым вычисляют внутренний интеграл для тройного, результат подводят под внутренний интеграл для двойного и последним вычисляют обычный определенный интеграл, получают число. Таким образом, тройной интеграл трехкратным интегрированием сводится к определенному интегралу.

Пример 1

Вычислить:

Пример 2

Найти объем тела, ограниченного плоскостями  и  (рис. 1.21).

Решение. Согласно формуле (1.46) имеем:

.

Тогда, применяя порядок как в (1.64), получим:

Пример 3

Тело, ограничено поверхностями  и . Плотность массы тела в каждой точке равна аппликате точки: . Найти массу тела.

Решение. При вычислении двойного интеграла часто удобно прибегать к полярным координатам. По (1.64) имеем:

.

Найдем проекцию D тела V на xОy (рис. 1.22).

Решим совместно уравнения:

 – круг радиуса R = 1.

Тогда