1.3.1. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности)

В разд. 1.2 получили определение поверхностного интеграла первого рода по площади поверхности формула (1.37). Ставим задачу для его вычисления.

Пусть задана поверхность S (рис. 1.27) и на ней функция f(x, y, z).

Функцию f(x, y, z) нельзя смешивать с функцией, входящей в уравнение поверхности S. Будем считать, что поверхность S задана явно: .

Известна связь: площадь проекции плоской фигуры равна площади самой фигуры, умноженной на абсолютную величину косинуса двугранного угла между плоскостями, т.е.

.                                                           (1.76)

Проведем в точке , касательную плоскость (рис. 1.28) – фрагмент разбиения:

                                          (1.77)

где       X, Y, Z – координаты текущей точки плоскости.

Заменим изогнутый элемент dq плоским , лежащим в плоскости (на рис 1.28 заштрихован), имеющим ту же проекцию , что и dq. Можно приближенно считать: .

Нормальный вектор  согласно формуле (1.77) имеет координаты: .


Поэтому для угла  между плоскостями касательной и xОy получим соотношение:

,

тогда, учитывая формулу (1.76), имеем:    . Или

.                                                   (1.78)

Так как на поверхности S: z = z(x, y), то . Учтя это, получим:

                       (1.79)

Формула (1.79) говорит о том, что поверхностный интеграл первого рода сводится к двойному интегралу.

Пример

Найти площадь части параболоида , расположенной над плоскостью xОy (рис. 1.29).

Решение. Поверхность задана явно, поэтому находим:

 

По свойству (1.44) с применением полярных координат получим:

Замечание. Можно получить и другие формулы для вычисления поверхностного интеграла первого рода, проектируя поверхность S на плоскости xОz и yОz (рекомендуется записать их самостоятельно).