Рассмотрим два противоположных события, т.е. . В каждом испытании может произойти лишь одно случайное событие. Считаем, что испытания независимы, т.е. применима формула (1.12). Если в k-м испытании произошло событие А, то этот исход назовем успехом и припишем ему значение равное 1. Если в k-м испытании событие А не произошло, то это неудача, припишем этому исходу значение, равное 0. Тогда

,

где  – последовательность длины n, состоящая из 0 и 1.

Обозначим вероятность события , тогда

.

Пусть  – число успехов в n испытаниях, тогда по формуле (1.13) вероятность произвольного исхода будет равна:

.             (1.14)

Наибольший интерес в этой схеме представляет случайное событие , заключающееся в том, что в n независимых испытаниях событие А произошло m раз.

Теорема 1

Вероятность события  вычисляется по формуле:

.           (1.15)

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример

Что вероятнее, выиграть у равносильного шахматиста две партии из четырех или три из шести (ничьи не учитываются)?

Решение

Событие А – выигрыш в партии одним из игроков, тогда по условию

1) при n = 4, m = 2 по формуле (1.15) находим:

;

2) при n = 6, m = 3, получаем:

.,

Таким образом, вероятность выигрыша двух партий из четырех больше, чем трех из шести.