1.4.3. Поток векторного поля

Пусть задано векторное поле  – вектор скорости несжимаемой жидкости, которая движется стационарно. Как отмечено выше, векторные линии будут линиями тока жидкости. Пусть в потоке находится поверхность S. Подсчитаем количество жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени. Для этого применим известный в интегральном исчислении метод: разобьем поверхность S на n элементарных площадок: ; в каждой  выберем произвольно точку и построим в ней нормаль  (если S – замкнутая, то нормаль берем внешнюю).

Площадку  будем считать плоской в виду её малости, а вектор  постоянным во всех точках  (рис. 1.38).

Тогда количество жидкости , протекающей через площадку , будет:

,                                        (1.96)

где . Представим площадку в виде вектора: , тогда

.                                                          (1.97)

Общее количество жидкости П получим, просуммировав потоки (i = 1, 2,…, n):

.                    1.98)

Точное значение количества жидкости П найдём, перейдя к пределу в выражении (1.98):

.  (1.99)

Таким образом, количество жидкости, протёкшей через S в единицу времени, будет равняться объёму жидкости, прошедшей через S. Этим объясняется выбор названия «поток».

Исходя из (1.99) можно дать определение потока: потоком П векторного поля  через поверхность S (в выбранном направлении нормалей к S), расположенную в области Д, называется поверхностный интеграл второго рода:

                                                     (1.100)

Другими словами, величина интеграла в (1.100) называется потоком вектора  через поверхность S.

Вычислим величину П. Так как

,

,

то

.                           (1.101)

Замечание 1. В электротехнике понятие потока вектора имеет особо важное значение. Например, поток вектора плотности тока  сквозь некоторую поверхность S представляет собой ток i, проходящий через эту поверхность:

.

Из этого равенства видно, что электрический ток есть величина скалярная; это и учитывается при расчете электрических сетей.

Замечание 2. Аналогично магнитный поток представляет собой поток вектора магнитной индукции  через поверхность S;

,

где - вектор магнитной индукции; - абсолютная магнитная проницаемость среды; - вектор напряженности магнитного поля.

Замечание 3. Особый интерес имеет случай, когда S – замкнутая поверхность и ограничивает некоторый объём V. Тогда поток записывается так:

.                                                        (1.102)

Говорят, что поток вектора через замкнутую поверхность представляет собой разность между числом векторных линий, выходящих и входящих в объем, ограниченный этой поверхностью.

Используя связь поверхностного интеграла с тройным (1.88), получим:

,                                        (1.103)

где величину

                                    (1.104)

обозначают  и называют дивергенцией (расходимостью) векторного поля . Отметим, что дивергенция векторного поля – величина скалярная и является одной из характеристик теории поля.

Вывод: поток равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля (нормаль Вещиля).

Методическое руководство

1) При вычислении потока используют формулу (1.100) и тогда говорят, что мы применяем метод непосредственного вычисления потока.

2) Когда поверхность S – замкнутая, то пользуются формулой Остроградского (1.103).

3) Формулу Остроградского можно применить и тогда, когда поверхность S – не замкнутая, но тогда надо дополнить заданную поверхность S до замкнутой некоторой поверхностью S1 (желательно простой).


Получим:

.                                    (1.105)

Интересующий нас поток через S тогда будет:

.

При этом  – находят по формуле Остроградского, а  – обычным способом.

Пример 1

Найти поток радиуса-вектора  через плоскость , заключённую в первом октанте; нормаль внешняя (рис. 1.39).

Решение

Способ 1

Дано: , нормаль к поверхности:  запишется так: . Тогда по определению потока

на поверхности S   ,  поэтому  .

Найдем S. Для этого вычислим площадь равностороннего треугольника ABC со стороной :                                                 .

Тогда

.

Способ 2

Дополним поверхность S до замкнутой полной поверхности пирамиды, треугольниками , , , лежащими в координатных плоскостях. Тогда по формуле Остроградского:

,

;

.

.

Тогда

.

Пример 2

Найти , если

Решение. Имеем: ; ; , тогда по (1.104)

; ; ; .

Инвариантное определение дивергенции. По теореме Остроградского

По теореме о среднем значении имеем:

,

где        – некоторая точка объема V. Найдя предел, получим:

Определение. Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к объёму тела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра к нулю. Эти рассуждения показывают, что любое поле порождает скалярное поле дивергенции .

Векторное поле называется солиноидальным (или трубчатым) в области D, если S – любая замкнутая поверхность, где поле существует везде.

Рассмотрим векторную трубку (рис. 1.40), где  и - два произвольных сечения, тогда

 (нормаль внешняя).

Если на боковой поверхности , то:

 и .

Это говорит о том, что поток через сечение  такой же, как через , т.е. потоки имеют одно и тоже значение. Это значение называют интенсивностью векторной трубки.

Из формулы Остроградского следует связь между потоком и дивергенцией, так:

1) если , то - говорят, что в точке М есть сток;

2) если , то - говорят, что в точке М есть источник;

3) если  – отсутствует сток или источник (речь идет о бесконечно малом объеме точки М).

Абсолютная величена  – характеризует мощность источника или стока.