1.4.4. Циркуляция векторного поля. Вихрь (ротор) вектора. Формула Стокса

Естественные науки / Специальные главы высшей математики / 1.4.4. Циркуляция векторного поля. Вихрь (ротор) вектора. Формула Стокса

Возьмем поле и некоторую кривую AB (рис. 1.41). Пусть — радиус-вектор точки M на кривой.

Определение 1: криволинейный интеграл, взятый по некоторой направленной линии AB , называется линейным интегралом от вектора вдоль линии AB.

Определение 2: Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой кривой K, называется линейный интеграл по этой замкнутой кривой K, обозначаемый через Г и определяемый формулой:

. (1.106)

Если – силовое поле, то линейный интеграл от вектора равен работе сил поля при перемещении точки по кривой AB. В этом состоит физический смысл линейного интеграла (ранее мы называли криволинейным интегралом по координатам).

Определим еще одну важную характеристику теории поля, которую называют вихрем (ротором) векторного поля.

Возьмем в поле вектора точку (рис. 1.42). Пусть - достаточно малая поверхность, содержащая точку , К – контур этой поверхности, - нормаль к . Обход согласован с и является положительным, Вычислим циркуляцию .

Предположим, что существует

, (1.107)

где . Такой вектор обозначается и называется вихрем (ротором) векторного поля .

Говорят, что векторное поле порождает другое векторное поле – поле и является векторной характеристикой векторного поля. Вектор в данной точке поля обладает свойством: если нормаль к совподает с направлением , то циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией, при любом другом положении площадки .

Понятие вихря введено независимо от выбора системы координат, т.е. служит инвариантной формулой (1.107).

Для удобства запоминания вихрь вектора записывают в декартовой системе в виде символического определения:

. (1.108)

Раскрывая определитель по первой строке, будем иметь:

. (1.109)

Из (1.109) видно, что есть вектор. Если рассматривать векторное поле как поле скоростей частиц текущей жидкости, то ротор характеризует угловую скорость вращения малого объёма, окружающего точку. Поэтому характеризует вращательную способность поля .