Рассмотрим произвольное вероятностное пространство  и два события А и В. Будем считать, что .

Что можно сказать о вероятности события В, если известно, что произошло событие А?

Тот факт, что событие А произошло, несет некоторую дополнительную информацию о пространстве элементарных исходов, что, возможно, изменяет вероятность появления В.

По определению вероятность события В, найденная в предположении, что произошло некоторое событие А, называется условной вероятностью события В (обозначается ).

Если событие А произошло, то некоторые из элементарных исходов становятся невозможными: . И мы можем рассматривать новое усеченное пространство элементарных исходов, из которых невозможные исходы исключены, т.е. .

Например, при классическом определении вероятности условную вероятность можно подсчитать в этом новом пространстве элементарных исходов следующим образом:

;          .

Условной вероятностью события В называется число, равное отношению вероятности совместного появления событий к вероятности события А:

.                  (1.8)

Условная вероятность, определенная таким образом, удовлетворяет всем аксиомам (1.1) – (1.3) в определении вероятности.

Рис. 1.10. Диаграмма Эйлера-Венна

Действительно:

1) так как   (рис. 1.10) ( по условию), то

,

следовательно, справедлива аксиома (1.1);

2) ,

следовательно, справедлива аксиома (1.2);

3) если В и С несовместные события, т.е. , то события АВ и АС тоже несовместны

,

тогда

,

следовательно, справедлива аксиома (1.3).

Пример 1

Студент идет на экзамен, зная первые пять билетов из первого десятка и пять последних билетов из третьего десятка. Общее количество билетов 30. Ему достается билет из первого десятка. Найти вероятность того, что билет знаком студенту.

Решение

Пусть событие А – билет извлечен из первого десятка, событие В – билет знаком студенту. Тогда

,  ,.

,  .

Если использовать формулу (1.8), то получится:

.

Равенство (1.8) можно представить в следующем виде:

.                (1.9)

Это теорема умножения. Её можно представить в следующем виде:

.

Эти формулы легко обобщаются на случай n сомножителей:

               (1.10)

Пример 2

Студент идет на экзамен, выучив 15 из 30 вопросов. Ему предлагают билет из трех вопросов. Найти вероятность того, что студент знает все три вопроса.

Решение

Пусть

,

где  – i-й вопрос знаком студенту.

Тогда

;

.

Событие В – хотя бы один вопрос знаком студенту, тогда

.

В общем случае имеем:

.

Если вероятность появления одного из событий не зависит от того, произошло ли другое, то эти события называются независимыми.

Для независимых событий

.

События  называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов  справедливы равенства:

 

или

.

Из независимости в совокупности следует попарная независимость, но, вообще говоря, не наоборот, т.е. попарная независимость не является достаточным условием независимости в совокупности.

Пример 3

Пусть имеется урна с 4 шарами, в которой: 1 – белый шар, 1 – черный, 1 – красный, 1 – раскрашен в три цвета.

Решение

Событие А – извлеченный наудачу шар содержит в окраске белый цвет, событие В – извлеченный наудачу шар содержит в окраске черный цвет, событие С – извлеченный наудачу шар содержит в окраске красный цвет. Тогда

;

;

;

;

,

 т.е. события попарно независимы, но

,

или, например,

.

Следовательно, события  зависимы в совокупности.