10. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Естественные науки / Краткий справочник по математическим моделям (в примерах и задачах) / 10. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1) Если , то — неопределённый интеграл, то есть .

2) Основные свойства неопределённого интеграла:

а) ; ;

б) ;

в) , — постоянная;

г) .

3) Таблицы простейших неопределённых интегралов

. .

4) Наиболее важные методы интегрирования:

а) метод разложения (непосредственного интегрирования);

б) метод замены (подстановки);

в) метод интегрирования по частям;

г) интегрирование простейших дробей и дробно-рациональных функций;

д) интегрирование тригонометрических выражений;

е) интегрирование простейших иррациональностей.

Объяснения.

а) метод разложения или непосредственного интегрирования:

, где .

Пример 44. Найти .

Решение: =

Пример 45. Найти .

Пример 46. Найти .

Решение: .

Пример 47. Найти .

Решение: .

б) метод подстановки (введение новой переменной):

где - непрерывно дифференцируемая, монотонная функция переменной t.

Пример 48. Найти .

Решение: Делаем замену , ,

тогда ,

но t = 5x, поэтому делаем возврат к старой переменной:

Пример 49. Найти .

Решение: Делаем замену (подстановка Эйлера), где t – новая переменная. Перепишем это равенство так:

найдём

Откуда .

Таким образом,

в) метод интегрирования по частям:

где u = u(x), v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции.

Пример 50. Найти .

Решение:

г) интегрирование простейших дробей и рациональных функций:

где .

Нахождение таких интегралов основано на разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей вида:

где n₁ и n₂– натуральные числа; a, A, B, C, p, q – действительные числа; (корни трёхчлена — комплексные).

Пример 51. Найти: .

Решение:

1) приравняем знаменатель нулю, найдём его корни: х₁=2, х₂=3,

2) дробь:

;

тогда .

Следовательно,

Или ;

1) Найдём корни знаменателя, для чего

2) Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:

;

3) ;

4) .

д) интегрирование тригонометрических выражений проводится с использованием тригонометрических формул:

а) .

б) .

в) .

Неопределённые интегралы вида , где находят с помощью формул:

если m и n – чётные; если среди m и n есть нечётные, то от нечётной степени отделяют множитель и вводится новая переменная.

Неопределённый интеграл вида , где R – рациональная функция от sin х и cos х, введением универсальной подстановки приводится к интегралу от рациональной функции.

Примеры 52.

Решения:

е) интегрирование простейших иррациональностей можно проводить с использованием метода замены переменной с помощью тригонометрических подстановок, гиперболических и других.

Примеры 53.

Решения:

;

5) Формула Ньютона-Лейбница: если f(x) – непрерывна на [a, b] и , то

6) Основные свойства определённого интеграла:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) , , (везде рассматриваемые функции непрерывны).

7) Теорема о среднем: если f(x) – непрерывна на [a, b], то

8) Формула интегрирования по частям в определённом интеграле:

9) Формула замены переменной в определённом интеграле:

где

10) Формула трапеций:

где .

11) Формула Симпсона

12) Несобственный интеграл первого рода:

13) Несобственный интеграл от неограниченных функций:

где – точка разрыва второго рода.

Пример 54. Найти: .

Решения:

;

Значит, данный интеграл сходится.

: подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при х = 3, следовательно, используя формулу для нахождения несобственного интеграла от неограниченной функции, будем иметь: