Задачей синтеза планетарных механизмов является определение чисел зубьев колес при известных частотах вращения (или угловых скоростях) входного и выходного звеньев, а, следовательно, известном передаточном отношении. Данная задача является неопределенной, допускающей большое число вариантов, на которые накладываются ряд ограничений:

1) условие соосности;

2) условие соседства;

3) условие сборки;

4) условие правильного зацепления.

Условие соосности входного и выходного валов указывает на то, что оба центральных зубчатых колеса 1 и 3 и водило Н должны иметь общую геометрическую ось вращения. Благодаря чему обеспечивается зацепление сателлитов 2 и 2‘ с центральными колесами 1 и 3 и .Условия соосности для простейших схем планетарных механизмов приведены в табл. 12.1.

Условие соседства (условие совместного размещения нескольких сателлитов k по общей окружности в одной плоскости) требует, чтобы соседние сателлиты не задевали своими зубьями друг друга. Для этого необходимо назначать числа зубьев колес так, чтобы расстояние между осями соседних сателлитов было не больше диаметра вершин большего из сателлитов 2 или 2‘. Для колес без смещения условия соседства приведены в табл. 12.1.

Если  > , то в числителе условия соседства берется  ( – максимальное число зубьев колеса блочного сателлита); если  < , то в числителе необходимо подставить . В знаменателе берется «+» при внешнем зацеплении и «–»при внутреннем зацеплении колес 1 и 2.

Число сателлитов назначают в интервале значений . При этом необходимо выполнить условия соседства и сборки.

Условие сборки при равных углах между сателлитами  (см. рис. 12.6,а) учитывает одновременное зацепление всех сателлитов с центральными колесами 1 и 3 при симметричной геометрии зон зацепления. Математическая запись условия сборки при ведущем колесе 1 и неподвижном колесе 3 приведена в табл. 12.1.

Выполнение условия сборки означает следующее: если один из сателлитов свободно устанавливается в вертикальном положении (см. рис. 12.6, а), то все последующие сателлиты будут свободно входить в зацепление с соответствующими колесами в том же положении. Для этого необходимо повернуть водило на угол:

.

При этом полагаем, что у блочных сателлитов зубья колеса 2 определенным образом ориентированы относительно зубьев колеса 2‘.

Если выражение  дает целое число, то расчет сборки не требует дополнительного числа полных поворотов водила Н (р = 0), и условие сборки с равными углами между сателлитами примет вид:

.

В этом случае для установки второго сателлита потребуется повернуть водило на угол .

При ведущем колесе 3 и неподвижном колесе 1 (см. табл. 12.1, графы 2 и 3) в условие сборки необходимо вместо  и  подставить соответственно  и . При ведущем водиле Н и неподвижном колесе 3 (см. табл. 12.1, графы 2 – 5) в условие сборки необходимо вместо  подставить , а при неподвижном колесе 1 вместо  и  – соответственно  и .

Условие правильного зацепления – это условие отсутствия заклинивания передачи (при значительном числе зубьев колес, выполненных без подреза ножки и головки зубьев). Чтобы избежать заклинивания зубчатых передач внутреннего зацепления, составленных из эвольвентных нулевых колес с прямыми зубьями, необходимо выбирать  каждого колеса передачи больше допускаемого минимального числа зубьев (). Для колес с внутренними зубьями при  и коэффициенте высоты головки зуба  имеем , если , то . Для колес с внешними зубьями соответственно имеем  и . Причем для всей передачи разность чисел зубьев сцепляющихся колес  должна быть не менее 8 при  и не менее 7 при .

Во избежание подреза зубьев эвольвентных нулевых колес для передач внешнего зацепления при  и коэффициенте высоты головки зуба  следует выбирать , а при  следует выбирать .

Заданное передаточное отношение обеспечивается подбором чисел зубьев колес так, чтобы допустимое отклонение фактического передаточного отношения от заданного не превышало 1…4 %. Существует несколько методов подбора чисел зубьев. Наиболее распространенным является метод сомножителей, при котором числа зубьев определяются только по двум условиям – передаточному отношению и условию соосности, а проверка полученных чисел зубьев – по условиям сборки и соседства.

Суть метода сомножителей рассмотрим на примере планетарного механизма (см. табл. 12.1, графа 4) с нулевыми колесами. Из уравнения передаточного отношения этой схемы

находим значение дроби:

.

Каждое из двух взаимно простых чисел M и N несократимой дроби представляем в виде сомножителей:

.

В свою очередь, каждое из простых чисел  должно быть пропорционально соответствующему числу зубьев . Тогда условие соосности (см. табл. 12.1) можно представить в виде:

.  (12.7)

Умножим левую часть тождества на , а правую часть – на , получим:

.

Раскрывая скобки, получим:

.

Откуда следует, что числа зубьев колес будут определяться из выражений:

;

;

;

,

где q – любое положительное целое число, вводимое для обеспечения условия правильного зацепления.

Аналогично определяются числа зубьев колес для других схем планетарных механизмов (см. табл. 12.1).

Пример

Требуется подобрать числа зубьев колес планетарной передачи, выполненной по схеме (см. табл. 12.1, графа 3), у которой передаточное отношение .

Решение:

1) Из уравнения передаточного отношения имеем:

.

Раскладываем число 12 на сомножители:

.

По формулам, приведенным в табл. 12.1( графа 3) получаем три варианта чисел зубьев колес. Расчет чисел зубьев колес сведем в таблицу 12.2

Таблица 12.2 Варианты чисел зубьев колес

Число зубьев	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3

По условию правильного зацепления для первого варианта выбираем , для второго варианта – , для третьего варианта – . Наименьшие габариты будут у механизма второго варианта, который далее проверяем по другим условиям.

2) Проверяем выбранный вариант по условию сборки:

.

Из выражения

получили целое число, следовательно, при сборке не требуется дополнительного числа полных оборотов водила . В этом случае для установки второго сателлита потребуется повернуть водило только на угол:

.

1) Условие соседства сателлитов проверяем по неравенству

 > ;      > ;     0,866 > 0,689.

Так как выполнены все условия, принимаем , , , .

Коэффициент полезного действия планетарных передач определяется по следующим формулам:

;

,

где  – коэффициент потерь обращенного механизма;  – КПД обращенного механизма.

Для планетарных передач (см. табл. 12.1) КПД обращенного механизма равен:

,

где η – КПД зубчатого зацепления.

В табл. 12.1 приведены в окончательном виде формулы для определения КПД планетарных передач при различных ведущем и неподвижном звеньях.