12.  РЯДЫ

1)  Определение ряда:

.

2)  Необходимый признак сходимости ряда: если ряд  сходится, то

.

3)  Геометрическая прогрессия

.

Сумма членов бесконечно убывающей прогрессии представляет сходящийся числовой ряд.

4)  Гармонический ряд

 (расходится).

5)  Признак Даламбера: если существует    ,   то

а) если D < 1, то ряд сходится;

б) если D > 1, то ряд расходится.

6)  Признак Коши: если существует  то при  K < 1 ряд сходится, при K > 1 — расходится.

7)  Абсолютная сходимость:

Если ряд          сходится, то ряд      сходится абсолютно.

8)  Признак Лейбница: если  и  при , то знакочередующийся ряд

 сходится.

9)  Радиус сходимости степенного ряда

определяется по формуле                       ,           если предел существует.

10)  Ряд Маклорена:

11)  Разложение функций в степенные ряды:

а)               ;

б)               ;

в)               ;

г)               ;

е)               ;

ж)    .

12)  Ряд Тейлора:

.

13)  Ряды в комплексной области:

.

14)  Абсолютная сходимость рядов с комплексными членами.

Если ряд  сходится, то ряд  сходится абсолютно.

15)  Формула Эйлера                           .

16)  Тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой функции f(x) периода T=2l:

,

где        — коэффициенты Фурье функции f(x).

В точках разрыва функции f(x) сумма ряда:

.

17)  Если 2l — периодическая функция четная, то

если f(x) — нечетная, то

.

Пример 66:  Исследовать ряд  на сходимость.

Решение:  Согласно признаку Даламбера, получим:

,

следовательно, ряд сходится .

Пример 67:  Исследовать ряд  на сходимость.

Решение:  Это ряд типа Лейбница и  при , и члены по абсолютной величине убывают, следовательно, ряд сходится.

Пример 68:  Установить радиус сходимости ряда .

Решение:  используем формулу для определения радиуса сходимости

R=,

следовательно, ряд сходится в интервале (-1; 1).


Чтобы ответить на вопрос, будет ли сходиться ряд при х = -1 и х = 1, то в каждом случае исследуется на сходимость ряд при  х = -1 и х = 1:

 — расходится (это гармонический ряд);

 — сходится условно.

Таким образом, промежуток сходимости .

Пример 69:  Применяя ряды, вычислить .

Решение:  Соответствующий неопределенный интеграл не выражается в элементарных функциях и применить формулу Ньютона-Лейбница нельзя; но, применяя степенные ряды, этот интеграл можно вычислить приближенно. Разделим почленно ряд для sin x на х, получим:

Интегрируя почленно, получим:

Ряд  знакочередующийся, по признаку Лейбница он сходится. Ограничившись тремя членами, допустим погрешность меньше .

Пример 70:  Разложить в ряд по степеням х функцию .

Решение:  известно, что имеет место разложение:

.

где вместо –х подставлен х. В этом новом разложении вместо х запишем –х2:

Полученный ряд сходится при |x|<1.

Пример 71:  Разложить функцию f (x) = 2x при  в ряд Фурье.

Решение:  при разложении функции в ряд Фурье необходимо построить график этой функции на промежутке  и периодически его продолжить на всю числовую ось (рис. 12.1). 

Условия разложимости функции в ряд Фурье выполнены. В точках разрыва ряд Фурье сходится к числу  ,  то есть  сумма  ряда Фурье  в точках разрыва равно нулю. Найдем коэффициенты Фурье (, так как функция нечетная):

.

Следовательно,                        .