16.  ПОВЕРХНОСТНЫЕ  ИНТЕГРАЛЫ

1)  Поверхностные интегралы первого рода (по площади поверхности).

Определение. Поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) – непрерывной на поверхности Q, называется число

.

2)  Если поверхность задана уравнением z=z(x,y), то    

.

3)  Поверхностным интегралом второго рода (по координатам) называется число

где        — проекция элемента площади поверхности на плоскость ХОУ.

Аналогичным образом определяются интегралы

.

4)  Обобщенный поверхностный интеграл по координатам:

,

где        — функции от x,y,z — непрерывные на поверхности Q.

Замечание: С гидроаэродинамической точки зрения поверхностный интеграл по координатам дает поток вектора

  

через поверхность Q  в выбранном направлении нормали к поверхности.

5)  Формула Стокса:

,

где       Q – кусочно-гладкая поверхность, L – замкнутый контур, ограничивающий конечную кусочно-гладкую двустороннюю поверхность Q, X,Y,Z — функции непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка.

6)  Формула Остроградского:

где Q – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.

Замечания:

а) выражение , где  и называется дивергенцией вектора ;

б) поток вектора  через замкнутую поверхность Q можно вычислить по формуле Остроградского:

;

в) величина интеграла  и называется циркуляцией вектора  вдоль замкнутого контура L (может быть вычислена по формуле Стокса).

Пример 87:  Вычислить  по одному витку винтовой линии:

.

Решение:  Используя параметрическое задание линии, получим

Пример 88:  Вычислить интеграл , где АВ – часть логарифмической кривой .

Решение:  Так как кривая задана уравнением , то , поэтому

Пример 89:  Вычислить интеграл  вдоль отрезка АВ, соединяющего точки A(1;2;-1) и B(3;3;4).

Решение:  составим уравнения пути интегрирования, для чего составим уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки:

.

В параметрической форме эти уравнения будут:

.

Тогда

Пример 90: Вычислить  по дуге АВ параболы .

Решение:  Примем х за параметр, получим:

Пример 91:  Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями .

Решение:  выберем определенный порядок интегрирования – внешнее по х, внутреннне по у (рис.


16.1)

Пример 92: Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

,

где       D – первая четверть круга радиуса R = 4 с центром в начале координат.

Решение:  Так как , то

.

Пример 93:  Вычислить тройной интеграл .

Решение:  Вычисление начнем из внутреннего интеграла:

.

Пример 94:  Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле

.

Пример 95:  Найти площадь части конической поверхности , вырезаемой плоскостями x = 0,  y = 0,  x + y = 1,  x + y = 2  и лежащей в первой октанте.

Решение:  Для нахождения площади поверхности используем поверхностный интеграл первого рода, для чего найдем:

.

Следовательно,

.

Пример 96:  Вычислить поверхностный интеграл  по верхней стороне полусферы .

Решение:  Данную поверхность можно задать уравнением , поэтому

,

где       D - круг  плоскости ХОУ, на которую проектируется поверхность Q (полусфера).

Вычисляя двойной интеграл, получим:

.

Пример 97:  Используя формулу Остроградского, вычислить поверхностный интеграл  по внешней стороне замкнутой поверхности пирамиды (рис. 10).

Решение:  Используя формулу Остроградского, найдем                         .

Так как , то

  и  .

Следовательно,            ,

где       Vпир — объем пирамиды ОАВС.

Пример 98:  Вычислить тройной интеграл , если область V – шар .

Решение:  Используем сферические координаты:

x = r sin Q cos j,   y = r sin Q sin j,   z = r cos Q                    (*)

В области V1, являющейся образом в области  V при  указанном преобразовании  (*), переменные  r, j, Q  меняются в следующих пределах: 0 £ R £ 1, 0 £ j £ 2p, 0 £ Q £ p. Так как подынтегральная функция , а Якобиан равен  r2 sin Q, то по формуле