2.2.3. Предел функции. Непрерывность. Производная и дифференциал

Будем предполагать, что функция  определена и однозначная в окрестности точки , кроме, возможно, самой точки .

Число  называется пределом функции  при , если , удовлетворяющих , выполняется неравенство . Записывают:

.

Этот факт геометрически можно истолковать так: модуль разности двух комплексных чисел дает расстояние между точками, их изображающими, когда в плоскости z приближается к точке  так, что расстояние между ними стремится к нулю, а в плоскости функции w бесконечно приближается к точке . Можно дать и другое истолкование: неравенство  выражает -окрестность точки  (круг радиуса ), а  – окрестность точки  (круг радиуса );  задается, а  определяется по : число  есть предел функции  при , если для всякой -окрестности точки , можно найти - окрестность точки , то для всех точек z этой окрестности (кроме, возможно, самой точки ) соответствующие значения  будут изображаться точками -окрестности точки .

Данное определение предела функции формально ничем не отличается от определения предела функции действительного аргумента. Следовательно, все доказанные теоремы математического анализа о пределах остаются в силе для ТФКП. Однако следует отметить важное отличие в определении предела для комплексного переменного – это стремление  происходит по любому пути в окрестности (и за пределами) к  точке . Это весьма существенно, и в дальнейшем используется в разных ситуациях.

Функция  называется непрерывной в  точке , если она определена в  точке  и ее окрестности, и

.                                                  (2.24)

Функция называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке этой области. Очевидно, что для непрерывности функции  необходимо и достаточно, чтобы были непрерывными в точке , функции u(x0,y0) и v(x0,y0).

Отметим без доказательства, что для функций, непрерывных в замкнутых областях, остаются справедливыми свойства функций вещественного переменного. Именно: каждая функция , непрерывная в замкнутой области :

1) ограничена в , т.е.


, что ;

2) , где  – соответственно наименьшее и наибольшее значение модуля функции.

Приращение функции  есть:

,                                              (2.25)

где  – приращение аргумента.

Производная от функции  формально находится так же, как это установлено в математическом анализе, а именно:

                                                  (2.26)

(понятие производной вводится для однозначной функции). Отметим, что все свойства и теоремы, аналогичные вещественному переменному, имеют место и для ТФКП. Иной смысл имеет толкование  и .

Пусть существует . Расположим плоскости z и w так, чтобы действительные и мнимые оси соответственно были параллельны (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Рассмотрим в плоскости z две точки  и кривую , проходящую через них. Этим точкам в плоскости w будут соответствовать точки  и кривая L. Вектору  будет соответствовать вектор . Известно, что

.

Переходя к пределу, получим:

.                                                (2.27)

Величина  указывает, в каком отношении изменяются линейные размеры при отображении функцией . Согласно  (2.27) величину  называют коэффициентом растяжения () или сжатия () в  точке  при отображении области D на G, осуществляемом функцией . Обозначают . В этом состоит геометрический смысл .

Для установления геометрического смысла аргумента производной используем известный факт:

.

Имеем

.                                             (2.28)

Но  – угол вектора  с осью ох, а  – угол вектора  с осью ou. Следовательно, разность между аргументами дает угол между векторами  и .

Если перейти к пределу при , то секущие  и  будут стремиться к положению касательных  и  (рис. 2.11), тогда

будет равен углу между касательными  и .

Поэтому любая линия (так как направление линии выбрано произвольно), проходящая через точку , поворачивается при отображении  на один и тот же угол, равный аргументу производной, т.е. . В этом состоит геометрический смысл аргумента .