2.2. Критерии оптимальности

Процедуры параметрического синтеза в САПР либо выполняются человеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автоматическом режиме). В последнем случае находят применение несколько постановок задач оптимизации.

Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры Y и нужно найти номинальные значения проектных параметров X, к которым относятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. Назовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности.

Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производства, то важное значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Очевидно, что успешное выполнение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантирует их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых допусками параметров элементов. Поэтому целью оптимизации становится максимизация процента выхода годных, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных параметров, но и их допуски.

Базовая задача оптимизации ставится как задача математического программирования

                                         (2.1)

где F(X) – целевая функция;  X – вектор управляемых параметров; φ(X) и ψ(X) – функции-ограничения; Dx – допустимая область в пространстве управляемых параметров. Указанная запись описывает задачу поиска экстремума путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области.

Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений параметров необходимо, во-первых, сформулировать задачу, во-вторых, решить задачу поиска экстремума F(X).

Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловлена наличием у проектируемых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (2.1) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и воз­никает проблема сведения многокритериальной задачи к однокритериальной.

Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности.

В частном критерии среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных выходных параметров относят к ограничениям задачи. Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается недостаток частного критерия (рис. 2.1).

На рис. 2.1 представлено двумерное пространство выходных параметров y1 и у2, для которых заданы условия работоспособности у1 < Т1 и у2 < Т2. Кривая АВ является границей достижимых значений выходных параметров. Это ограничение объективное и связано с существующими физическими и технологическими условиями производства, называемыми условиями реализуемости. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности, называют областью работоспособности.


Множество точек пространства выходных параметров, из которых невозможно перемещение, приводящее к улучшению всех выходных параметров, называют областью компромиссов или областью Парето. Участок кривой АВ (см. рис. 2.1) относится к области Парето.

Если в качестве целевой функции (рис. 2.1) выбрать параметр у1, то результатом оптимизации будут параметры X, соответствующие точке В. Но это граница области работоспособности, и, следовательно, при нестабильности внутренних и внешних параметров велика вероятность выхода за пределы области работоспособности. Конечно, результаты можно улучшить, если применять так называемый метод уступок, при котором в качестве ограничения принимают условие работоспособности со скорректированной нормой в виде

У< Т2 + Δ,

где Δ – уступка. Но возникает проблема выбора значений уступок, т. е. результаты оптимизации будут иметь субъективный характер. Очевидно, что ситуация не изменится, если целевой функцией будет выбран параметр у2, так как оптимизация приведет в точку А.

Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные параметры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую собой взвешенную сумму частных критериев

,                                              (2.2)

где ωj – весовой коэффициент; т число выходных параметров. Функционал (2.2) подлежит минимизации.

Недостатки аддитивного критерия – субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно, в (2.2) не входят нормы выходных параметров.

Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целевая функция которого имеет вид

,                                            (2.3)

Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (2.3), то мультипликативный критерий превращается в аддитивный.

Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблагополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности этого выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра Sj и этот запас можно рассматривать как нормированный j-й выходной параметр. Здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятся неравенствами в форме уj < Тj:

Sj = (Tj – yj)/Tj,

или                                                        

Sj = (Tj – yном j)/dj,

где yном.j – номинальное значение, δj – некоторая характеристика рассеяния j-го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. Тогда целевая функция в максиминном критерии есть

.

Здесь запись [1: т] означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до т. Задача (2.2) при максиминном критерии конкретизируется следующим образом:

,                                           (2.4)

где допустимая область Dx определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры xi:

xi min < xi < xi max.