Рассмотрим инструментальную погрешность (ξ_ин). Значение ξ_ин складывается из множества составляющих, причём некоторые из них проявляются случайным образом и распределены по различным законам (погрешность от зазора в кинематической цепи, от трения в опорах), а другие проявляются систематическим образом (погрешность установки нуля). Суммарный закон распределения случайной составляющей инструментальной погрешности (ξ_ин) является, таким образом, композицией различных законов и, как правило, неизвестен экспериментатору при обработке им результатов испытаний.

В паспорте прибора указывается доверительный интервал инструментальной погрешности прибора (Δ) (или, по принятой терминологии, – основная допускаемая погрешность), который устанавливается предприятием-разработчиком, чаще всего экспериментальным путём (сравнением с эталонными и образцовыми приборами).

Значение основной допускаемой погрешности (Δ) гарантируется для нормальных атмосферных условий, например, температуры окружающего воздуха    t₀ = 20 ± 5 ºС, барометрического давления В₀ = (760 ± 25) мм рт. ст. или (101,3 ± 3,3) кПа и т.д. Если рабочие условия эксплуатации прибора отличаются от нормальных, указанных в паспорте, то основная допускаемая погрешность (Δ) возрастает на значение дополнительной погрешности, также указываемой в паспорте прибора. Основная допускаемая погрешность прибора, как правило, согласована с его шкалой – значение Δ не должно быть меньше половины шкалы деления шкалы.

Рассмотрим погрешность (ξ_пр), обусловленную прочими причинами, складывающуюся из многих составляющих, проявляющихся как случайным, так и систематическим образом:

ξ_пр = ξ_сл + ξ_сист.

Систематическая погрешность (ξ_сист), как было указано ранее, при проведении повторных изменений остаётся неизменной или изменяется по детерминированному закону и, следовательно, может быть установлена расчётным или экспериментальным путём. После вычисления или опытного определения ξ_сист она устраняется путём прибавления к результату измерения поправки (γ), равной значению систематической погрешности, взятой с обратным знаком:

γ = – ξ_сист.

Погрешность ξ_сл – случайная величина, и для неё справедливы все выводы теории вероятности. Часто при повторных измерениях в эксперименте величина ξ_сл порождается множеством причин, роль каждой из которых в образовании ξ_сл невелика. Следовательно, в силу центральной предельной теоремы Ляпунова ξ_сл распределяется по нормальному закону, симметрично относительно нуля с плотностью вероятности:

где  – среднеквадратичное отклонение случайной величины;  – дисперсия случайной величины.

Допустим, что систематическая погрешность (ξ_сист) устранена с помощью введения поправки (γ), а инструментальная погрешность ξ_ин << ξ_пр, и ею можно пренебречь. Тогда истинная погрешность

ξ = ξ_сл             и          х = ξ_сл + А.

Следовательно, результат измерения х также является случайной величиной, распределённой по нормальному закону (рис. 2.1.) с плотностью вероятности , симметрично относительно А, где

.

Из теории вероятности известно, что, если случайная величина (х) распределена по нормальному закону, то для её выборки (ряда повторных измерений) математическое ожидание (выборочное среднее)

,

где х_i- результаты повторных измерений; п – число повторных измерений.

Дисперсия выборки () при этом может быть определена по приближённой формуле:

где п – 1 = f – число степеней свободы дисперсии . При .

Доверительный интервал случайной погрешности отдельного измерения ± β – это диапазон, за пределы которого ξ_сл не выйдет с заданной вероятностью Р. Вероятность Р (рис. 2.2, заштрихованная площадь) определяется по формуле:

Обозначим , тогда . При ξ_сл = β        t = t_a = β / S. Получаем интеграл Лапласа:

Величина t_a = β / S называется коэффициентом Стьюдента. Значения коэффициента Стьюдента, определённые для различных значений вероятности (Р) из интеграла Лапласа:

Р	0,68	0,95	0,997	0,999	0,9999
ta	1,0	2,0	3,0	3,5	4,0

Доверительный интервал случайной погрешности отдельного измерения, таким образом, равен:

β = t_aS.

На практике для определения доверительного интервала (β) используют выборки, содержащие ограниченное число повторных измерений (п = 2…10). Поэтому β определяют по приближённой формуле:

β = t_a ,

где

- среднеквадратичная погрешность отдельного измерения выборки.

Для компенсации возникающей ошибки (тем большей, чем меньше п) коэффициент Стьюдента определяют не с помощью интеграла Лапласа, а с помощью интеграла Стьюдента, учитывающего число повторных измерений (табл. 2.1). На практике при определении коэффициента Стьюдента принято задаваться вероятностью Р = 0,95.

С помощью доверительного интервала случайной погрешности отдельного измерения (β) может быть определён доверительный интервал отдельного измерения:

,

где .

Таблица 2.1

n	Р
	0,68	0,95	0,997	0,999
2 3 4 5 6 7 8 9 10	2,0 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1	12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3	31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,1 3,0 2,9 2,8	636,0 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8

Доверительный интервал отдельного измерения () позволяет утверждать, что результат любого повторного измерения должен находиться в границах:

Определим доверительный интервал () в случайной погрешности математического ожидания (). В теории вероятностей доказывается теорема о дисперсии случайной величины(), являющейся функцией нескольких случайных величин

        = f (x₁, x₂,…x_n),

распределённых по нормальному закону, причём

Воспользуемся этой теоремой. Математическое ожидание вычисляется по формуле:

Поскольку х₁, х₂ …, х_п – случайные числа, распределённые по нормальному закону, и дисперсия их равна σ², то в силу упомянутой теоремы дисперсия математического ожидания равна:

и среднеквадратичная погрешность математического ожидания определяется по формуле:

Из последнего выражения следует важный вывод о повышении точности при увеличении числа повторных измерений (п): при росте п среднеквадратичная погрешность математического ожидания () уменьшается пропорционально .

Зная , определяем:

· доверительный интервал случайной погрешности математического ожидания

;

· доверительный интервал математического ожидания

где t_a выбирается по таблице 2.1 в соответствии с числом повторных измерений п для вероятности Р = 0,95.

Для нахождения доверительного интервала () мы воспользовались допущением о том, что ξ_ин << ξ_сл. В общем случае ξ_ин и ξ_сл могут быть величинами одного порядка. Поскольку закон распределения случайной составляющей ξ_ин, как правило, неизвестен, то для определения доверительного интервала истинной погрешности (а) рекомендуется приближённая формула:

Если (практически, если ), то можно полагать  Если , то можно полагать а = Δ и ограничиться однократным измерением.