2.3. Формальная запись модели

Эта запись традиционно занимает существенное место в общей теории систем, но полезна также и для анализа конкретной модели.

Сначала обозначим:

·  набор входных воздействий (входов) в системе – х+ и всю их допустимую совокупность – Х+, ;

·  набор выходных воздействий (выходов) в системе – х- и всю их возможную совокупность – Х-, ;

·  набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во все время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, – а и всю их допустимую совокупность – А,  ;

·  набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния), – у и всю их допустимую совокупность – Y,  ;

·  параметр (или параметры) процесса в системе (см. п. 1.1.4) – t и всю их допустимую совокупность – Т,  ;

·  правило 5 (функция, оператор) определения параметров состояния системы по входам x+, постоянным параметрам а и параметру процесса t. Заметим, что мы всегда будем различать величины и правила их определения. Здесь запись y = S(x+, а, t) означает нахождение параметров по этому правилу, в то время как о величине у можно говорить и вне правила ее определения;

·  правило V (функция, оператор) определения выходных характеристик системы по входам x+, постоянным параметрам а, параметру процесса t и параметрам состояния у, т. е. x- = V(x+. a, t,y);_

·  правило (функция, оператор) определения выходных характеристик системы по входам x+, постоянным параметрам a и параметру процесса t. Указанное правило  может быть получено подстановкой правила S в правило V, что дает исключение из него параметров состояния: х-=+, а, t).

На основе введения вышеуказанных воздействий, параметров и правил модель может быть записана как кортеж

S:{x+, х-, а, t, у, S, V, },                 (2.1)

; ; ; ;

Для примера рассмотрим в качестве-модели систему дифференциальных уравнений  , решаемую для различных начальных условий и различных правых частей.

В этом случае имеем:

1. входы: начальные условия, вектор правых частей f(t), значение t1, до которого необходимо интегрировать систему;

2. выход: значение y(t1) = у1;

3. неизменные параметры системы: матрица A;

4. параметры состояния: вектор у;

5. параметр процесса – t;

6. правило S: решение дифференциального уравнения в зависимости от начальных условий, констант, правых частей и аргумента; y = y(t0, у0, A, f(t), t);

7. правило V: подстановка в решение дифференциального уравнения значения t1;  y1=y|t=t,;

8. правило : зависимость y1=y(t0,y0,A, f(t), t1).

Третий пример информационный. Рассмотрим модель длительности переработки человеком текста в резюме. В этом случае:

· входы: объем текста, численная оценка его сложности;

· выход: длительность t составления резюме;

· неизменяемые параметры здесь будут соответствовать способностям данного человека: скорость осмысленного чтения текста и число повторных чтений в зависимости от его сложности, усредненное число переделок резюме;

· параметры процесса определяют объем проделанной работы на данный момент t: объем изученного текста, объем составленной части резюме, оставшееся число переделок резюме;

· параметр процесса: стадия работы или время;

· правило S: зависимость объема проделанной работы от объема и сложности текста, способностей человека, времени;

· правило V: зависимость величины t от объема проделанной работы;

· правило : зависимость величины t от объема текста, его сложности и способностей данного человека.

Обсудим определение модели (2.1) и приведенные примеры, в которых содержательно трактовались все восемь составляющих кортежа.


Является ли это число универсальным, неизменным.  Нет, это просто наиболее удобные на практике составляющие. Их может быть как больше (см., например, ниже системы с управлением), так и меньше. Минимальное число составляющих  имеет модель «черного ящика»:

S:{x+, х-, },                   (2.2)

где  x- = ( x+) .

Введение в рассмотрение «внутренности черного ящика» приводит к параметрам системы а, а типичное наличие процессов системе – к параметрам состояния и процесса: у и t. На основе наличия процессов формулируются и правила S, V. Другими составляющими кортежа в определении модели могут быть входные случайные воздействия (представляющие собой часть входов x+), характеристики структуры системы в отличие от характеристик элементов (выделенные из параметров а), некоторые свободные параметры модели, все множество значений которых должно быть учтено при расчете выходов (например, операциями взятия максимума, интегрированием), управления, введенные для целенаправленных систем.

Часто даже при незначительных изменениях постановки задачи происходит переход величин из одной составляющей кортежа в другую. Так, некоторую мало меняющуюся величину в системе можно отнести и к параметрам системы а (сделав условно постоянной), и к параметрам состояния. Математическим путем замены переменной нередко меняют местами параметр процесса и один из параметров состояния. В ряде случаев могут возникать трудности с отнесением данной величины к параметрам состояния или выходным воздействиям.

Пример с моделью в виде системы дифференциальных уравнений интересен тем, что если считать выходом не значение функции у в точке t1, а саму функцию, то мы получаем совпадение операторов S и . Операторное равенство для V при этом является просто переобозначением: х- = у. Такое положение дел, когда выходом в системе служит параметр состояния, достаточно типично. Аналогичная ситуация уже отмечалась при определении цели системы. Для этого случая можно записать вместо (2.1) укороченный кортеж без правил S и Y.

В примере с переработкой текста можно вполне обойтись без операторов S и V и строить сразу оператор . Такая ситуация, когда удобно сразу, без промежуточных стадий, искать основное правило , тоже встречается нередко и аналогично случаю с системой дифференциальных уравнений ведет к кортежу без S и V. Именно этим объясняется наличие на первый взгляд «лишней» составляющей  в (2.1), еще в определении этого правила было указано, что оно выводимо из предыдущих. Но именно типичность ситуации с отсутствием операторов S и V (или неудобство работы с ними) является основным оправданием практического удобства введения V в кортежную запись модели.