В высказывании все четко: это конкретное утверждение о конкретных объектах – истинное или ложное. Предикат – предложение, похожее на высказывание, но все же им не являющееся: о нем нельзя судить истинно оно или ложно.

Логика предикатов представляет собой развитие логики высказываний. С помощью формул логики высказываний можно описать и исследовать структуру сложных высказываний, установить их истинность или ложность в зависимости от истинности или ложности входящих в нее простых высказываний. Для описания внутренней логической структуры простых высказываний используется понятие предиката.

Определение. N-местным предикатом, определенном на множествах М₁, М₂, …, М_n, называется предложение, содержащее n переменных х₁, х₂, …, х_n, превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств М₁, М₂, …, М_n соответственно.

Обозначение. Чаще всего предикат обозначают большой латинской буквой, а число переменных указывает на его размерность: P(x₁, x₂, …, x_n).

Предикат также называют функцией-высказыванием.

Пример 55.

Рассмотрим три высказывания:

А – «Рубль – валюта России»;

В – «Доллар – валюта России»;

С – «Доллар – валюта США».

Высказывания А и С – истинны, В – ложно. Если вместо конкретных наименований валюты в выражениях А, В подставить предметную переменную х и определить ее на множестве наименований денежных единиц М, то получим одноместный предикат

P(x): «х – валюта России», где х  М.

Если же в высказывания подставить не только предметную переменную х, определенную на множестве М, но и вместо наименований стран ввести предметную переменную у, определенную на множестве названий стран У, то получим двуместный предикат:

Q(x, у): «х  — валюта страны у», где х  М, у  У.

Чаще всего предикаты задают высказывательными формами, как показано выше. Однако предикат можно задать таблицей. Такой способ пригоден только для предикатов, область определения которых – конечное множество.

Пример 56.

Пусть задан одноместный предикат P(x), хМ, где М = {1, 2, 3, 4, 5}. Значение предиката можно задать таблицей (табл. 2.67):

Таблица 2.67 Таблица значений предиката из примера 56

Пример 57.

Предикат задан высказывательной формой Р(х): «в слове х буква «а» встречается не более двух раз», хМ, где М = {конь, стол, карандаш, зал, чаша, барабан}.

Построим таблицу значений для данного предиката (табл. 2.68):

Таблица 2.68 Таблица значений предиката из примера 57

Определение. Множеством истинности предиката Р(х₁, х₂, …, х_n), заданного на множествах М₁, М₂, …, М_n, называется совокупность всех упорядоченных n-систем (а₁, а₂, …, а_n), в которых таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание при подстановке х₁=а₁, х₂=а₂, …, х_n=а_n.

Это множество будем обозначать Р⁺.

Пример 58.

Определить множество истинности предикатов, заданных на соответствующих множествах:

1) Р(х): «х кратно 3»,  хÎМ, где М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) G(x, y): «x² + y² < 0», (x, y)  RR;

3) Q(x): «sin²x + cos²x = 1», х R.

R – множество действительных чисел.

Решение.

1) Р⁺ = {3, 6, 9};

2) G⁺ = ;

3) Q⁺ = R.