2.4.1. Основные понятия, связанные с предикатами

В высказывании все четко: это конкретное утверждение о конкретных объектах – истинное или ложное. Предикат – предложение, похожее на высказывание, но все же им не являющееся: о нем нельзя судить истинно оно или ложно.

Логика предикатов представляет собой развитие логики высказываний. С помощью формул логики высказываний можно описать и исследовать структуру сложных высказываний, установить их истинность или ложность в зависимости от истинности или ложности входящих в нее простых высказываний. Для описания внутренней логической структуры простых высказываний используется понятие предиката.

Определение. N-местным предикатом, определенном на множествах М1, М2, …, Мn, называется предложение, содержащее n переменных х1, х2, …, хn, превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств М1, М2, …, Мn соответственно.

Обозначение. Чаще всего предикат обозначают большой латинской буквой, а число переменных указывает на его размерность: P(x1, x2, …, xn).

Предикат также называют функцией-высказыванием.

Пример 55.

Рассмотрим три высказывания:

А – «Рубль – валюта России»;

В – «Доллар – валюта России»;

С – «Доллар – валюта США».

Высказывания А и С – истинны, В – ложно. Если вместо конкретных наименований валюты в выражениях А, В подставить предметную переменную х и определить ее на множестве наименований денежных единиц М, то получим одноместный предикат

P(x): «х – валюта России», где х  М.

Если же в высказывания подставить не только предметную переменную х, определенную на множестве М, но и вместо наименований стран ввести предметную переменную у, определенную на множестве названий стран У, то получим двуместный предикат:

Q(x, у): «х  — валюта страны у», где х  М, у  У.

Чаще всего предикаты задают высказывательными формами, как показано выше. Однако предикат можно задать таблицей. Такой способ пригоден только для предикатов, область определения которых – конечное множество.

Пример 56.

Пусть задан одноместный предикат P(x), хМ, где М = {1, 2, 3, 4, 5}. Значение предиката можно задать таблицей (табл. 2.67):

Таблица 2.67 Таблица значений предиката из примера 56

х

1

2

3

4

5

Р(х)

и

и

л

и

л

Пример 57.

Предикат задан высказывательной формой Р(х): «в слове х буква «а» встречается не более двух раз», хМ, где М = {конь, стол, карандаш, зал, чаша, барабан}.

Построим таблицу значений для данного предиката (табл.


2.68):

Таблица 2.68 Таблица значений предиката из примера 57

х

конь

стол

карандаш

зал

чаша

барабан

Р(х)

и

и

л

и

и

л

Определение. Множеством истинности предиката Р(х1, х2, …, хn), заданного на множествах М1, М2, …, Мn, называется совокупность всех упорядоченных n-систем (а1, а2, …, аn), в которых таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание при подстановке х11, х22, …, хnn.

Это множество будем обозначать Р+.

Пример 58.

Определить множество истинности предикатов, заданных на соответствующих множествах:

1) Р(х): «х кратно 3»,  хÎМ, где М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) G(x, y): «x2 + y2 < 0», (x, y)  RR;

3) Q(x): «sin2x + cos2x = 1», х R.

R – множество действительных чисел.

Решение.

1) Р+ = {3, 6, 9};

2) G+ = ;

3) Q+ = R.