2.6. Метод хорд

1. Условия на применение метода хорд те же самые, что и для метода Ньютона.

Пусть известен отрезок [a, b], который содержит один корень уравнения f(x) = 0.  Функция f(x) является дважды непрерывно дифференцируемой на [a, b] (f(x) Î C2[a,b]). Функция f принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков (f(a)×f(b) < 0). Первая  и вторая  производные  функции  f  не обращаются в ноль на отрезке [a, b] (f ¢ ¹ 0, f ¢¢ ¹ 0). При выполнении этих условий для уточнения корня можно использовать метод хорд.

2. Формула метода: 

то есть                                     ,

где d – неподвижная точка, которая выбирается из условия f(d)×f ¢¢ (x) > 0. То есть условие на начальное приближение в методе Ньютона соответствует условию на неподвижную точку в методе хорд:

если f(a)×f ¢¢ (x) > 0,       то d = a;

если f(b)×f ¢¢ (x) > 0,       то d =b.

3.    Если d = a,            то начальное приближение x0 = b.

       Если d = b,            то начальное приближение x0 = a.

Таким образом, один из концов отрезка является неподвижной точкой, а другой – точкой начального приближения.

4. Условие остановки итерационного процесса то же самое, что и для метода Ньютона:

, где .

При выполнении этого условия xn+1 является приближенным значением корня уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b], найденным методом хорд с точностью e.


 На рис. 2.7. иллюстрируется применение метода хорд, в рассматриваемом случае неподвижная точка d = b.

Пример

Построить алгоритм для уточнения корня уравнения x3 + 3x – 1 = 0 на отрезке [0,1] методом хорд с точностью e.

Решение

f(x) x3 + 3 x- 1.

Рис. 2.7. Геометрический смысл метода хорд

1. В предыдущем примере мы убедились, что от отрезка [0, 1] нужно перейти к уменьшенному отрезку [0.1, 1]. Этот отрезок содержит один корень уравнения f(x) = 0 и для него выполняются все условия для функции f.

2. , следовательно, d = 1.

Формула метода: .

3. Так как d = 1, начальное приближение x0 = 0.1.

4. Условие остановки итерационного процесса:

, где .

Число xn+1, для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным значением корня уравнения f(x) = 0 на отрезке [0,1, 1], найденным методом хорд с точностью e.