Определив дискретные передаточные функции 
и 
и, зная Z-изображение входного сигнала, можно вычислить Z-изображение выходного сигнала или сигнала ошибки:
и 
.
По Z-изображениям сигналов системы могут быть найдены соответствующие решетчатые функции. Такая операция представляет собой обратное Z-преобразование, символическое обозначение которой – 
.
Не следует забывать, что получаемая в результате обратного Z-преобразования решетчатая функция 
определяет значения непрерывного сигнала 
только в дискретные моменты времени 
. Поэтому для полного описания функции необходимо использовать дополнительную информацию о поведении системы, либо применять методы, позволяющие вычислить величину внутри интервалов квантования. К числу таких методов относятся рассматриваемые в последующих разделах данного курса методы дробного квантования и модифицированного Z-преобразования.
По изображению 
произвольного вида значения могут быть вычислены путем разложения в ряд Лорана (в ряд по убывающим степеням z):
(2.14)
Сравнивая приведенный ряд с выражением (2.2), получим:
и т.д.
Поскольку для каждого изображения разложение в ряд (2.14) является единственным, оно может быть осуществлено любым способом.
Наиболее простым приемом нахождения коэффициентов ряда (2.14) в случае, когда представлено в виде дробно-рациональной функции
(2.15)
является деление числителя на знаменатель.
Пример 14
Необходимо определить решетчатую переходную функцию 
системы с передаточной функцией:
Z-изображение решетчатой переходной функции:
В результате деления полинома, стоящего в числителе 
, на полином в знаменателе, получим:
Коэффициенты полученного степенного ряда определяют следующие дискреты 
(рис. 2.9):
; 
; 
и т.д.
Использование предложенного метода расчета дискрет решетчатой функции не ограничено какими-либо условиями к виду изображения 
, но не дает возможности записать выражение для 
в виде компактной функции натурального аргумента 
.
Такая функция может быть получена на основании формулы обратного Z-преобразования (формулы обращения):
, (2.16)
где замкнутый контур интегрирования Г на плоскости Z охватывает особые точки 
.
Вычисление интеграла (2.16) может быть осуществлено с использованием формулы Коши в полюсах :
. (2.17)
Вычет в простом полюсе 
находится по формуле:
, (2.18)
а вычет в полюсе кратности S – по формуле:
. (2.19)
Если полюса изображения (2.15) простые, 
, а полином в числителе может быть представлен в виде 
, то выражение (2.17) преобразуется к виду:
. (2.20)
Пример 15
Необходимо определить выражение для решетчатой функции 
, если
.
Используя выражение (2.20), имеем:
Рассчитанные по полученному выражению значения дискрет, как и следовало ожидать, совпадают с вычисленными в примере 14.
Если все условия, ограничивающие применение выражения (2.20), выполняются, за исключением того, что полином 
не имеет нулевого корня, то искомая решетчатая функция определяется по формуле:
, (2.21)
которую можно использовать для 
. При этом величину 
следует находить по теореме о начальном значении.
Пример 16
Необходимо определить выражение для решетчатой функции, если
.
Начальное значение решетчатой функции равно:
.
Для определения предыдущих значений по выражению (2.21) полагаем:
В соответствии с полученным выражением для 
имеем:
; 
и т.д.
Если число нулей равно числу полюсов функций (2.15) (порядок полиномов и 
равны), следует, разделив на , представить 
в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального остатка. При этом первое слагаемое определяет величину , а по второму, используя формулу (2.21), можно вычислить искомую решетчатую функцию.
Пример 17
Необходимо определить выражение для решетчатой переходной функции разомкнутой дискретной САУ, передаточная функция ПНЧ которой равна:
Передаточная функция дискретной системы:
.
Z – изображение переходной функции:
.
В соответствии с формулой (2.21) можно записать:
;
;
.
Начальное значение решетчатой функции:
.
Для 
справедливо:
.
Пусть 
, тогда значения дискрет:
и т.д.
На рис. 2.10 приведен график решетчатой функции 
и возможный вид графика функции 
(штриховая линия)