2.7. Комбинированный метод хорд и касательных

Метод Ньютона называют также методом касательных. Комбинируя метод хорд и метод Ньютона, можно построить метод отыскания вещественных корней уравнения f(x) = 0, в котором при прежних предположениях относительно f(x) на каждом шаге итерационного процесса мы получаем  два приближения к корню  и  , причем  где с –точное значение корня.

1. Условия на применение метода те же, что и в методе Ньютона.

Пусть известен отрезок [a, b], который содержит один корень уравнения: f(x) = 0. Функция f(x) является дважды непрерывно дифференцируемой на [a, b] (f(x) Î C2[a, b]). Функция f принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков (f(a)×f(b) < 0). Первая  и  вторая  производные  функции  f  не  обращаются  в  ноль  на отрезке [a, b]

(f ¢ ¹ 0f ¢¢ ¹ 0).

2. Возможны два случая:

· если f(a)×f ¢¢ (x) > 0, то слева применяем метод Ньютона, а справа метод хорд.

Формулы метода:

· если f(bf ¢¢(x) > 0, то слева применяем метод хорд, а справа метод Ньютона (метод касательных).

Формулы метода:

В качестве точек начального приближения выбираются: x0  = a,  .

4. Условие остановки итерационного процесса: , при выполнении этого условия любая точка из отрезка [] приближает корень уравнения с точностью e.


Чаще всего принимают: .

На рис. 2.8. иллюстрируется применение комбинированного ме­тода хорд и касательных. В рас­сматриваемом случае справа при­меняется метод Ньютона, а слева – метод хорд.

Рис. 2.8. Геометрический смысл комбинированного метода хорд и касательных

Пример

Построить алгоритм для уточнения корня уравнения x3 + 3x – 1 = 0 комбинированным методом хорд и касательных с точностью e  на отрезке [0.1, 1].

Решение

1. В предыдущих примерах мы проверили, что отрезок [0.1, 1] содержит один корень уравнения, и выполняются все условия для применения метода Ньютона:

2. Определим, какой из методов нужно применять слева, а какой справа:

Следовательно, слева применяем метод хорд, а справа – метод касательных (Ньютона). Запишем формулы:

3. Точки начального приближения:

x0 = 0.1.

4. Условие остановки итерационного процесса:

.

Приближенное значение:   .

При выполнении условия остановки итерационного процесса х* является приближенным значением корня уравнения, полученным комбинированным методом хорд и касательных с точностью e.