3.1.5. Основные теоремы операционного исчисления

Применение формулы (3.1) непосредственно бывает весьма громоздко. Теоремы, которые рассмотрим далее, значительно облегчают решение задачи нахождения изображений большого числа разнообразных функций. Важно то, что они облегчают решать также обратную задачу – отыскания оригиналов по изображениям.

1) Теорема о дифференцировании изображения

Если  .

Доказательство. Функция . Применим (3.1), получим:

.

Итак,

.                                                   (3.28)

Методическое руководство

Умножение оригинала на независимую переменную влечет в области изображений взятие производной по переменной p с последующим умножением результата на минус единицу.

Поэтому, умножив  на t, в результате получим:

.

Продолжая этот процесс, получим:

.                                            (3.29)

Пример 1

Найти изображение .

Решение. Так как , то по (1.4.7) получим:

.

2) Теорема умножения (Э. Бореля) (теорема о свертке):если , то

.      (3.30)

Интеграл  называется сверткой функций  и  и обозначается: .

Если f1 и f2  – оригиналы, то свертка их является оригиналом. Найдем изображение, применяя (3.1):

 .

Меняя порядок интегрирования (область интегрирования изображена на (рис. 3.4), получим:

Пример 2

Найти оригинал, если .

Решение.


Выполним тождественное преобразование, получим:

По теореме о свертке найдем:

.

3) Первая теорема разложения: если F(p) разлагается в степенной ряд по отрицательным степеням p с ненулевым радиусом сходимости, т.е.

,                                                     (3.31)

то оригиналом такой функции также является степенной ряд по положительным степеням t

                                                              (3.32)

который сходится при всех

.                                           (3.33)

Подробное доказательство не станем приводить. Доказательство приводит к утверждению, что ряд (3.32) равномерно сходится при всех t > 0 , и его сумма есть .

4) Вторая теорема разложения: если  правильная несократимая рациональная дробь, знаменатель Q(p) который имеет корни  соответственно кратностей , то оригинал определяется  по формуле:

   (3.34)

Доказательство. По формуле обращения (3.1)

.                                      (3.35)

Учитывая определение вычета относительно кратного полюса, сразу получим доказательство теоремы. Если все корни Q(p) простые (), то в результате получим:

        (3.36)

Пример 3

Найти оригинал изображения .

Решение. Определим корни знаменателя :

. Корень 0 – третьей кратности, а корни 1 и 2, простые. Для нахождения оригинала используем формулы (3.34) и (3.36). Здесь r1 = 3,  r2 = 1,  r3 = 1.

Следовательно,

Методическое руководство

На практике часто не используют теорию вычетов, а разлагают дробь на сумму простейших, как это делали в интегральном исчислении при интегрировании дробно-рациональных функций.

Решение можно оформлять и по-другому.

Пример 4

Найти оригинал  для изображения .

Решение.  – правильная рациональная несократимая дробь, причем . Корни знаменателя простые:  значит можно применить вторую теорему разложения в виде (3.36). Очевидно, . Все другие действия сведем в таблицу 3.2.

Таблица 3.2 

   
Материал представлен на сайте исключительно в ознакомительных целях.
Все права принадлежат авторам этих материалов.