3.1 Наращение по сложным процентным ставкам

Так как процентные деньги по схеме сложных процентов не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга. Таким образом, наращенная сумма долга по схеме сложных процентов определяется:

· за один период начисления по формуле (2.2)

FV = PV + I = PV + PV · i = PV (1 + i);

· за два периода начисления по следующей формуле

FV = (PV + I) (1 + i) = PV (1 + i) (1 + i) = PV (1 + i)2.

Следовательно, формула для определения наращенной суммы долга по схеме сложных процентов за n периодов начисления имеет следующий вид:

FV = PV (1 + i)n = PV · kн, (3.1)

где FV – наращенная сумма долга; PV – первоначальная сумма долга; i – ставка процентов в периоде начисления; n – количество периодов начисления; kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Различие начисления простых и сложных процентов состоит в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу.

Коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы.


При пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке (i).

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 3.1. Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам, значительно выше, чем по простым. То есть, при любом i,

если 0 < n < 1,

то (1 + ni) > (1 + i)n ;

если n > 1,

то (1 + ni) < (1 + i)n ;

если n = 1,

то (1 + ni) = (1 + i)n .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

· более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

· более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

· обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.