Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри круга сходимости. В частности, дифференцируя бином Ньютона, получаем:

;                   .

Пример

Вычислим производящие функции некоторых последовательностей. С этой целью сначала вспомним формулу для суммы бесконечной  геометрической прогрессии:

.

С помощью этой формулы найдем производящую функцию для последовательности a_n = 1, которая будет равна:

.

Почленное дифференцирование полученного равенства

1 + x + x² + … + xⁿ + …=

приводит к производящей функции  для последовательности a_n = n + 1:

1 + 2x + 3x² + … +(n+1)xⁿ + …= ,

а почленное интегрирование приводит к производящей функции последовательности :

x +   + …+   + …= = -ln(1-x).

Имеют место следующие свойства производящих функций:

1) сумме последовательностей соответствует сумма производящих функций;

2) производящая функция последовательности

c_n = a₀ b_n + a₁ b_n-1 +…+ a_n b₀

равна произведению производящих функций последовательностей {a_n} и {b_n}.