3.2.6. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ И ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ. БИЕНИЯ

Колеблющееся тело может одновременно участвовать в нескольких колебательных процессах:

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты производится методом вращающегося вектора амплитуды.

Векторные диаграммы этих колебаний изображены на рис. 3.5. Так как векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью w0, то разность фаз (j1 – j2) между ними остается постоянной. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид:

,

где амплитуда результирующего колебания определяется по формуле: ; начальная фаза результирующего колебания равна: .

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j2 – j1) складываемых колебаний:

1) j2 – j1 = ±2mp             (m = 0, 1, 2, …),        А = А1 + А2,

2) j2 – j1 = ±(2m + 1)p    (m = 0, 1, 2, …),        А = ½А1 – А2½.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых колебания одинакового направления мало отличаются по частоте.


В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплиту дой – биения.

Уравнения двух колебаний с амплитудами А и близкими частотами w и w + Dw, причем Dw << w, можно представить в виде:

Уравнение результирующего колебания, с учетом того, что Dw/2 << w будет иметь вид:

.                                          (3.9)

Результирующее колебание (3.9) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда которого изменяется по периодическому закону:

.                                                (3.10)

Частота изменения Аб в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

.

Период биений равен:

.

Характер зависимости (3.9) показан на рис. 3.6, где сплошные жирные линии представляют собой график результирующего колебания (3.9), а огибающая их ли ния – график, меняющийся по уравнению (3.10) амплитуды.