Ме­тод вероятностно-статистической оценки точности основан на проведении обработки опытной партии заготовок с замерами интересующего размера шкальным инструментом (микро­метром или другим в зависимости от требуемой точности измере­ний). Результаты замеров математически обрабатывают, после чего строят кривую распределения исследуемого размера. Для этого в полученном ряде размеров выявляют предельные значения. Разность между наибольшим и наименьшим действительными раз­мерами заготовок в данной партии (D_р) называют размахом рас­пределения, или полем рассеяния размеров:

D_р = l_max – l_min.                                                      (3.9)

Полученное значение D_р разбивают на равные интервалы и определяют частость повторения отклонений размеров в каждом интервале:

W = m / n,                                                          (3.10)

где m – число заготовок, фактический размер которых находится в пределах данного интервала; n – общее число деталей в партии.

Далее строят график (полигон) распределения размеров. По оси абсцисс откладывают фактические размеры заготовок (или интер­валы размеров), а по оси ординат – частость их повторения (w). Например, на графике (см. рис. 3.13, а) общее число деталей в исследуемой партии составляет 100 шт. Поле рассеяния размеров D_p = 0,16 мм. Для построения полигона размеров при­нято восемь размерных групп с интервалом в 0,02 мм. В первой размерной группе оказалось 5 деталей, т.е. частость w₁ = 0,05, во второй группе – 13, т.е. частость w₂ = 0,13, и т.д. Получен­ные точки соединяют прямыми.

Если увеличить число размерных групп (например, принять интервал в 0,01 мм) и увеличить общее число обрабатываемых дета­лей, то ломаная линия становится более плавной.

Экспериментально установлено, что при обработке заготовок на металлорежущих станках способом автоматического получения размеров точность обработки подчиняется в большей или меньшей степени закону нормального распределения, который изображается математической кривой Гаусса (рис. 3.13, б). Уравнение кривой Гаусса имеет вид:

,                                               (3.11)

где s – среднее квадратичное отклонение аргумента; е – основа­ние натуральных логарифмов; параметр a является центром груп­пирования значения аргумента и в то же время его средней ариф­метической.

Среднее квадратичное отклонение (s) определяют по результатам измерений партии заготовок по формуле:

.                                            (3.12)

Здесь n – число произведенных измерений; x_i – значение текущего измерения; х_ср – среднее арифметическое данных измерений, которое определяется по формуле:

.                                 (3.13)

Число измерений (n) следует брать 50 или более. При меньшем числе измерений погрешность определения (σ) превышает ± 10 %.

Кривая нормального распределения симметрична. Ордината вершины кривой y_mах  (рис. 3.13, б) будет при х = а; она определяется из выра­жения

.

Кривая Гаусса имеет точки перегиба на расстояниях х = ± s. Их ординаты равны:

Величина s характеризует форму кривой распределения и является мерой точности данного метода обработки:

· при увеличе­нии s вершина кривой сни­жается, но ветви кривой растягиваются, т.е. поле рассеяния размеров растет;

· при уменьшении s орди­ната кривой возрастает, а поле рассеяния сужается.

На рис.3.14, а схематически показаны кривые распреде­ления последова­тельно после предварительного точения (кривая  s), чистового точения  (кри­вая s₁) и шлифования (кри­вая s₂),  причем при пра­вильном построении этапов процессов необходимо вы­полнение условия s > s₁ > s₂.

Если обрабатываются две партии одноименных заготовок, то появляется систематическая постоянная погрешность, связанная с погрешностью настройки станка на размер или с различными отклонениями размеров режущего инструмента. В этом случае кривые распределения погрешностей при обработке первой и второй партий будут смещены одна относительно другой на размер постоянной погрешности D_н (рис.3.14 б).

Изучение кривых распределения погрешностей позволяет выя­вить соотношение между числом годных и бракованных деталей. Предположим, что на обработку заготовок установлен допуск d. На оси абсцисс (рис.3.14, в) этот допуск определяется величинами х₁ и х₂ от границ центра, диаметральных раз­меров при обработке пар­тии заготовок группирования. Заштрихованный участок соответствует числу заготовок, находящихся в пределах поля до­пуска. Отношение площади этого участка к общей площади, огра­ниченной кривой, определяет вероятность получения годных заго­товок, так как площадь, ограниченная кривой нормального рас­пределения, соответствует общему числу заготовок в партии.

Площади F₁ и F₂ рассчитывают по формулам:

;                                                   (3.14)

.                                                 (3.15)

Если принять х /s = z, то эти интегралы можно представить в виде функции Ф(z):

                                            (3.16)

                                             (3.17)

Вся площадь, ограниченная кривой, равна 1. Значения вели­чин  и  меньше единицы. Значения функции Ф(z) через деся­тую долю аргумента приведены в табл. 3.1.

Из табл. 3.1 видно, что в интервале z = ± 3, т.е. при х = ± 3s, площадь, ограниченная этим участком кривой, составляет 0,9973 всей площади. Это означает, что 99,73 % всех обработанных заго­товок, находящихся в интервале 6s, будут годными, и процент брака не превысит 0,27 %.

Таким образом, определив для исследуемого процесса значе­ние s, можно установить точность данного метода обработки по ве­личине 6s (правило «шести сигм»). Если принять для расчета, например, величину 5s, то процент брака возрастет до 1,24, так как согласно табл. 3.1 Ф(z) будет 0,9876. Возрастание вероятности брака почти в 4,5 раза недопустимо. Правило «шести сигм» является достаточно точным для прак­тических расчетов.

Таблица 3.1

Значения функции Ф(z) через деся­тую долю аргумента