3.3. Метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента

1. На первом шаге прямого хода метода Гаусса выбирается максимальный по модулю элемент в первом столбце. Этот элемент является ведущим. Если он равен нулю, то detA = 0. Если ведущий элемент не является элементом , то перестановкой строк помещаем его в  . При этом соответственно переставляются элементы вектора b. Затем применяются формулы метода Гаусса.

2. На -м шаге прямого хода метода Гаусса непреобразованный столбец – это часть столбца i, начиная с элемента , то есть . Находим максимальный по модулю элемент  в непреобразованном столбце. Этот элемент является ведущим. Если он равен нулю, то detA = 0. Если ведущий элемент не является элементом , то перестановкой строк помещаем его в  . При этом соответственно переставляются элементы вектора b. Затем применяются формулы метода Гаусса.

3. После (n-1)-го шага получаем верхнюю треугольную матрицу U и преобразованный вектор правой части.  Выполняем обратную подстановку.

Метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента в отсутствие ошибок округления для невырожденных матриц позволяет получить точное решение, а для вырожденных матриц – сообщение о том, что матрица вырождена.

Пример

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.

Решение

Рассмотрим ту же систему линейных уравнений, что и в предыдущих примерах.

Прямой ход метода Гаусса

Прежде всего, выбираем максимальный по модулю элемент в первом непреобразованном столбце:

,   , следовательно,  ведущим элементом является 10.

Ведущим  элементом является элемент , поэтому перестановка строк не нужна. Умножим первое уравнение на 0.3 и прибавим ко второму. Умножим первое уравнение на -0.5 и прибавим к третьему. Получим:

 

Рассмотрим следующий непреобразованный столбец:

,              , следовательно, ведущим элементом является 2.5, а не  -0.1, как в методе Гаусса без выбора ведущего элемента. Но ведущий элемент не является элементом    (при ) , поэтому  необходимо переставить строки матрицы А, чтобы элемент 2.5 стал элементом .


При перестановке строк необходимо одновременно поменять местами элементы вектора правой части . Получим:

.

Умножим второе уравнение на 0.4 и прибавим к третьему. Получим:

.

Мы получили систему линейных уравнений с верхней треугольной матрицей.

Обратная подстановка

,        следовательно, ;

,                       ;

,              

Ведущими элементами являются числа: 10, 2.5, 6.2,  все они по модулю больше 1, следовательно,  алгоритм является вычислительно устойчивым.

В методе Гаусса с частичным выбором ведущего элемента, в отличие от метода Гаусса без выбора ведущего элемента, в случае необходимости меняются местами уравнения системы линейных уравнений. За счет этого не возникает проблем, если у невырожденной матрицы какой-либо из главных миноров равен нулю.

Рассмотрим метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента с точки зрения операций над матрицами.

Теорема

Произвольная невырожденная матрица перестановкой строк (столбцов) может быть приведена к матрице с главными минорами, отличными от нуля (, где P – матрица перестановок).

Матрица Р получается из единичной матрицы перестановкой строк (столбцов).

Сложность метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента

Число арифметических действий, необходимых для его реализации: , где n – число уравнений. Оценим сложность по памяти: требуется память для хранения n2 элементов матрицы, вектора b (n элементов) и вектора x (n элементов), в результате, .

Метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента является устойчивым, если все ведущие элементы по модулю больше единицы.

Следует отметить, что метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента – это основной алгоритм вычислительной математики линейной алгебры.

Метод Гаусса с полным выбором ведущего элемента отличается от метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента тем, что на каждом шаге прямого хода ведущий элемент ищется в непреобразованной части матрицы. Непреобразованная часть матрицы – это квадратная матрица размерности n-i+1, получаемая вычеркиванием первых   i – 1  строк и первых   i – 1  столбцов. В методе Гаусса с полным выбором ведущего элемента возможна не только перестановка строк матрицы и соответствующих элементов правой части, но и перестановка столбцов матрицы и, соответственно, изменение порядка следования неизвестных.