Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало данного интервала, наращенную сумму определяют по формуле сложных процентов. В современный период сложные ссудные проценты являются широко распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок. В формулах, приведенных ниже, приняты следующие обозначения:
ic – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;
kН.С – коэффициент наращения при применении сложных процентов;
j – номинальная ставка сложных ссудных процентов.
При годовом интервале начисления наращенная сумма по окончании первого года в соответствии с формулой (3.7) составит:
. (3.23)
Еще через год данное выражение применяется уже к сумме S1:
(3.24)
и так далее по каждому последующему году. Следовательно, по прошествии n лет наращенная сумма составит:
. (3.25)
Множитель наращения kн.с соответственно возрастет до рассчитываемой величины:
. (3.26)
При начислении простых процентов он составлял бы по формулам (3.5) и (3.7):
. (3.27)
Сравнение формул (3.26) и (3.27) для коэффициентов наращения показывает, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов. Поэтому при наличии выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой следует предпочесть первый вариант.
Если срок ссуды в годах n не является целым числом, то множитель наращения определяют по выражению:
, (3.28)
где n = na + nb. Здесь na – целое число лет; nb – оставшаяся дробная часть года.
Если уровень ставки сложных процентов на различных интервалах начисления – разный, наращенная сумма в конце первого интервала начисляется в соответствии с формулой (3.7) и составляет:
.
В конце второго интервала:
и далее, аналогичным образом. При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:
. (3.29)
Если все интервалы начисления одинаковы, что характерно для практики, и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.29) принимает вид
. (3.30)
Сложные проценты могут начисляться не один, а несколько раз в году. В таком случае устанавливается номинальная ставка процентов j – годовая ставка для определения величины ставок процентов на каждом интервале начисления. При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина равна j/m. При сроке ссуды n лет (аналогично формуле (3.25)) выражение для определения наращенной суммы принимает следующий вид:
, (3.31)
где mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то выражение (3.31) принимает вид
, (3.32)
где mn – целое число интервалов начисления; l – часть интервала начисления.
Для целого числа периодов начисления следует применять формулу сложных процентов (3.25), а для дробной части – формулу простых процентов (3.7). В современный период в нашей стране наиболее распространено начисление процентов по полугодиям, по кварталам и ежемесячно. Проценты, начисляемые с определенной определенностью, называются дискретными. В мировой практике применяется непрерывное начисление сложных процентов, при котором продолжительность интервала стремится к нулю, а их количество – к бесконечности. Для начисления наращенной суммы в таком случае применяют следующую формулу:
. (3.33)
Для проведения расчетов также применяют математическую формулу
,
где e=2,71828… Из данной формулы следует:
.
Тогда формула для определения наращенной суммы принимает вид:
. (3.34)
В данной формуле
. (3.35)
Величину наращенной суммы S можно рассчитать с применением финансового калькулятора или по специальным таблицам.
Как и в случае простых процентов, полученные формулы допускают преобразо
вания путем выражения одних величин через другие, в зависимости от того, что известно и что необходимо рассчитать. Из формулы (3.25) получаем:
. (3.36)
В данной формуле коэффициент дисконтирования a является величиной, обратной коэффициенту наращения, т.е. kн.с*а = 1. Формула (3.36) и соответствующие формулы для случая простых ставок судного процента и для учетных ставок показывают, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности. Из формулы (3.25) также получаем:
. (3.37)
Из формулы (3.31) имеем:
. (3.38)
Применяя логарифмирование к обеим частям формулы (3.5), получаем:
. (3.39)
Аналогичным образом можно получить из формулы (3.31) формулу
. (3.40)