Полный факторный эксперимент позволяет по простым формулам определить коэффициенты линейной модели. Однако ПФЭ обладает одним недостатком: при числе факторов К > 3 число опытов полной реплики резко увеличивается:

при    ;

при     и т.д.

Посмотрим, нельзя ли исключить из полной реплики часть опытов таким образом, чтобы она сохранила свои свойства: симметричность, условие нормировки, ортогональность.

Запишем полную реплику для трехфакторной функции отклика (табл. 3.4), содержащую . Исключим из табл. 3.4 опыты 2, 3, 5, 8. Реплика, включающая оставшиеся опыты (1, 4, 6, 7), будет представлять собой часть (половину) полной реплики. Её называют полурепликой. Запишем полуреплику для трёхфакторной функции отклика (табл. 3.5).

Очевидно, что записанная полуреплика (см. табл. 3.5) сохраняет все свойства ПФЭ:

· симметричность ();

· выполнение условия нормировки ();

· ортогональность ().

Следовательно, мы можем вместо 8 опытов произвести 4 и определить коэффициенты линейной модели по полученным формулам (3.2), (3.3).

Заметим, что вторая полуреплика (табл. 3.6), дополняющая рассмотренную полуреплику до полной, тоже обладает всеми свойствами ПФЭ.

Эксперимент, число опытов которого меньше числа возможных сочетаний уровней плана, но который сохраняет свойства ПФЭ (симметричность, выполнение условий нормировки, ортогональность), называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Матрица ДФЭ называется дробной репликой. Если дробная реплика составляет половину полной, то она называется полурепликой и обозначается репликой типа , если составляет четверть,  то называется четвертьрепликой (репликой типа ) и т.д.

Рассмотрим правила выбора дробных реплик.

Необходимо помнить, что число опытов не должно быть меньше числа коэффициентов модели. Вместе с тем, число опытов должно быть таково, чтобы реплика удовлетворяла свойствам ПФЭ. Исходя из этого и выбирают дробность реплики.

При построении линейной модели трехфакторной функции отклика  необходимо определить четыре коэффициента: . Полная реплика содержит  опытов. Можно воспользоваться полурепликой, содержащей  опыта. Составляется она следующим образом.

Сначала записывается полная реплика для двухфакторной функции отклика . Затем определяется пять коэффициентов . Полная реплика содержит  опытов. Можно воспользоваться полурепликой, содержащей  опытов (табл. 3.7).

Составляется она аналогично случаю, рассмотренному ранее (табл. 3.4 – 3.6). Сначала записывается полная реплика для трёхфакторной функции отклика, содержащая 8 опытов. В столбец  (табл. 3.7) записывается либо произведение , либо произведение .

При построении линейной модели пятифакторной функции отклика необходимо определить шесть коэффициентов: . Полная реплика содержит  опыта. Можно воспользоваться четверть-репликой, содержащей  опытов (табл. 3.8). Составляется она следующим образом. Сначала записывается полная реплика для трёхфакторной функции отклика , содержащей 8 опытов. В столбец записывается любое из произведений  (например, ), а в столбец  – произведение  либо произведение .

Аналогично поступают и при составлении дробных реплик для функций отклика больших размерностей (табл. 3.9).

Таблица 3.9

Таким образом, применение дробного факторного эксперимента позволяет существенно сократить число опытов, необходимых для построения линейной модели (16 вместо 4096 при К = 12).