Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой  <a, X, A>,

где   a – наименование переменной,

X – универсальное множество (область определения a),

A – нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. m_A(x)) на значения нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор  <b, T, X, G, M>,

где   b – наименование лингвистической переменной;

Т – множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения).

Множество  TÈG(T),

где G(T) – множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной; М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов,

· символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

· пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "молодой", являющийся значением лингвистической переменной b = "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где

b – толщина изделия;

T – {"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};

X – [10, 80];

G – процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или средняя толщина", "очень малая толщина" и др.;

М – процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А₁ = "малая толщина", А₂ = "средняя толщина", А₃ = "большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и другие операции над нечеткими множествами вида: АÇВ, АÈВ, , CON А = А² , DIL А = А^0,5 и др.

На рис. 4.5 – 4.6 представлены функции принадлежности для некоторых нечетких множеств.

Рис. 4.5. Функции принадлежности нечетких множеств: А₁ – "малая толщина";

А₂ – "средняя толщина"; А₃ – " большая толщина"

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде нечетких чисел.

Рис. 4.6. Функция принадлежности нечеткого множества:

А₁ÈА₂ – "малая или средняя толщина"