4.7. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей (МКР)

На практике часто приходится решать уравнения с частными производными методом конечных разностей (МКР). При этом производные заменяются соответствующими разностями (рис. 4.5.)

;                                          (4.61)

или

                                 (4.62)

                                         (4.63)

Первая краевая задача для уравнения (4.44) формулируется так: требуется найти решение уравнения (4.44), удовлетворяющее краевым условиям:

                                           (4.64)

т.е. требуется найти решение U(x, t) в прямоугольнике, ограниченном прямыми t = 0,  x = 0,  x = l, t = T,  если заданы значения искомой функции на трех его сторонах: t = 0, x  =0,  x = l (рис. 4.5).

Покроем нашу область прямоугольной сеткой, образованной прямыми  x = iht = kl  (i, k = 1, 2,…), и будем определять приближенные значения решения в узлах сетки. Введем обозначения: . Напишем вместо уравнения (4.44) соответствующее ему уравнение в конечных разностях для точки , получим (для (4.64)):

.                                     (4.65)

Найдем

                                     (4.66)

Из формулы (4.66) следует, что если известны три значения в k-м ряду , то определяется значение  в k+1-м ряду (слое). Нам известны все значения на прямой  t = 0.  Значения в крайних точках этого отрезка нам известны в силу (4.64). Так, ряд за рядом мы определим значения искомого решения во всех узлах сетки [18].

Формула (4.66) упрощается, если шаг l по оси t выбрать так, чтобы  или . В этом случае уравнение (4.66) будет:

                                                (4.67)

Указанным методом решение определяется в узлах сетки. Решение между узлами сетки можно получить, например, экстраполированием, проводя плоскость через каждые три точки в пространстве (x, t, u).

Замечание. По аналогии с одномерным случаем вывода уравнения теплопроводности легко можно получить уравнение теплообмена в пространстве и на плоскости.

Методическое руководство

Элемент стержня  следует заменить на элемент объема .


Количество тепла, затраченное на повышение температуры за dt заменяется на , а общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объёме  за время dt, будет , но, с другой стороны, это тепло, поступившее в объем  за время dt, определяется: , где  – единичный вектор нормали к поверхности S, ограничивающей объем . Баланс дает:

(здесь использовали формулу Остроградского из векторного анализа). Заменяя поверхностный интеграл тройным, получим:

или

.

Применив теорему о среднем, получим:

для некоторой точки объема . Но мы выделили произвольный объем  в пространстве, где идет процесс передачи тепла, а подынтегральная функция непрерывна, поэтому последнее равенство имеет место в каждой точке пространства:

.

Положив ,

                                                 (4.68)

или

                                                             (4.69)

где        – оператор Лапласа. Уравнение (4.68) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для нахождения его единственного решения задают краевые условия.

Если искомая функция U(x,y,z,t) не зависит от z, то получаем уравнение теплопроводности тепла на плоскости:

                                                     (4.70)