Теорема 1

Пусть (X, £) – конечное частично упорядоченное множество. Тогда для любых функций   f,  g: X® R   равносильны  следующие свойства:

1) ;

2) .

Доказательство

Пусть A – матрица смежности частично упорядоченного множества (X, £). Тогда выполнение равенства 1 равносильно соотношениям

g(x_i)=S_j a_ij f(x_j).

Поскольку это равносильно равенству g = Af, эквивалентного равенству  f = A^-1g, то получаем, что равенство 1 верно тогда и только тогда, когда верно равенство 2.

Рассматривая частично упорядоченное множество с двойственным отношением порядка, получаем следующую теорему.

Теорема 2

Пусть (X, £) – конечное частично упорядоченное множество. Тогда для любых функций   f, g: X® R равносильны  следующие свойства:

1) ;

2) .