Пусть на входе имеется простейший поток заявок с интенсив­ностью и загрузкой . Среднее значение времени ожи­дания завершения начатого обслуживания одной заявки равно:

(7)

где - среднее время обслуживания заявок, ,

- параметр потока обслуживания;

-коэффициент загрузки;

- коэффициент вариации времени обслуживания.

В формуле (7) и берутся в квадрате, т.е. и

,

где - среднее квадратическое отклонение времени обслуживания.

Воспользуется формулой Полячека — Хинчина для определения средней длины очереди и среднего чис­ла заявок в системе :

(8)

Среднее время ожидания при произвольном законе рас­пределения времени обслуживания можно выразить через время ожидания при постоянном времени обслуживания и его коэффициент вариации:

Формулой Полячека—Хинчина можно воспользоваться для определения среднего времени пребывания заявки в оче­реди и среднего времени пребывания заявки в системе массового обслуживания при простейшем потоке заявок с интенсивностью и произвольным распределением времени обслуживания с математическим ожиданием и коэффициентом вариации :

Простое выражение для времени ожидания заявок в очереди будет получено при экспоненциальном законе распределения времени обслуживания:

Распределение количества заявок в системе равно

Это выражение называется геометрическим законом.

При многомерных простейших потоках с интенсивностью, суммарный поток будет пуассоновским. Его интенсивность

                                                              (9)

При произвольных случайных потоках суммарный поток приближается к простейшему. В практических задачах обыч­но пользуются суммарным простейшим потоком и получают характеристики с некоторым приближением.

В первую очередь нас интересует продолжительность ожи­дания заявок в очереди при многомерном потоке. На нее наи­большее влияние оказывают различия во времени обслужива­ния заявок разных типов, которые характеризуются дисперсией распределения времени обслуживания суммарного потока. Для повышения эффективности обслуживания при бесприори­тетной дисциплине желательно так подобрать алгоритмы, чтобы длительности обслуживания разных заявок были более или менее близкими. Рассмотрим практическую задачу.

Пример 17.

Имеется набор программ для решения 20 задач. Интен­сивности поступления потоков задач и время работы про­грамм указаны в табл. 9.

Таблица 9

Характеристики потоков заявок и процесса обслуживания

Н-р задачи	,1/ч	, ч	Н-р задачи	,1/ч	, ч
1	0,11	1,0	11	0,02	2,5
2	0,05	1,1	12	0,03	2,6
3	0,09	1,2	13	0,01	2,7
4	0,20	1,3	14	0,05	2,8
5	0,06	1,6	15	0,02	2,9
6	0,02	IJ	16	0,03	3,1
7	0,01	1,8	17	0,03	3,2
8	0,01	1,9	18	0,02	3,6
9	0,03	2,0	19	0,03	3,8
10	0,02	2,1	20	0,02	3,9

Определим пропускную способность системы массового обслуживания для решения 20 представленных задач. Оце­ним, какая очередь появится в этой системе — ограниченная или неограниченная.

Если заданная система не в состоянии обслужить указан­ный поток заявок, то ее целесообразно разбить на две системы. В первую систему включим 10 задач (программ решения этих задач), во вторую — оставшиеся 10 задач. По полученным сис­темам определим среднюю длину очереди, среднее время ожидания в очереди и среднее время пребывания заявок в системе.

Решение.

1. Определим пропускную способность заданной системы:

Величина , следовательно, система не в состоянии обслужить поток в 20 задач. В ней будет образовываться воз­растающая неограниченная очередь.

Таблица 10

Схема расчета

Номер задачи	, ч					Номер задачи		, ч
1	1,0	-0,57		0,3249		11	2,5		-0,61	0,3721
2	1,1	-0,47		0,2209		12	2,6		-0,51	0,2601
…	…	…		…		…	…		…	…
9	2,0	0,43		0,1849		19	3,8		0,69	0,4761
10	2,1	0,53		0,2809		20	3,9		0,79	0,6241

1. Распределим задачи по предложенным в условии двум системам и определим их пропускные способности:

Приблизительное равенство пропускных способностей двух систем подтверждает, что с этой точки зрения деление проведено удачно. Кроме того, следовательно, очереди будут конечной длины.

2. Интенсивность суммарных входящих потоков новых систем по формуле (9), 1/ч составит:

3. Рассчитаем дисперсии каждой системы. Расчет прове­дем в табл. 10.

 Отсюда

5. Найдем среднюю длину очереди до начала обслужива­ния каждой системы по формуле (8):

6. Определим среднее время пребывания заявки в системе и среднее время ожидания ее в очереди, ч:

Среднее время пребывания в системах можно определить, используя формулу Полячека — Хинчина:

Необходимо заметить, что расчеты по формулам для оп­ределения условного среднего времени ожидания в очереди при учете времени переключения достаточно сложны. По этой причине, они проводятся по разработанным алгоритмам и программам на ЭВМ. Оценка эффективности на основе критериев теории массового обслуживания позволяет выработать рекомендации по существенному улучшению ра­боты ЭВМ и их эксплуатации на ВЦ.