1) Основные теоремы о пределах:

а)        

б)        

в)         если lim f₂(х) ≠ 0.

2) Замечательные пределы:

а)          

б)        

в)        

г)        

д)        

3)  Эквивалентные бесконечно малые:

называются эквивалентными, если .

Замечание:  для раскрытия неопределенностей вида 0/0 часто бывает полезным понятие эквивалентных бесконечно малых. Имеется принцип замены бесконечно малых: при раскрытии неопределенностей вида 0/0 можно и числитель, и знаменатель этой неопределенности заменить величинами, им эквивалентными.

Пример 30:  Найти:

а)                                                    б)       ;

в)                                                      г)       ,

д)                                                         е)      

ж)    

Решение:

а)             ~ х² — 9 при , тогда

;

б)         ;

в)         ;

г)         ;

д)         ;

е)         ;

ж)        .

4) Связь между десятичным и натуральным логарифмом:

lg x = Mlnx,    M = lge = 0,4342…

5) Приращение функции y = f(x), соответствующее приращение  аргумента  x:

6) Условие непрерывности функции y = f(x):

^.

Если существуют конечные  и  не все три числа  равны между собой, то x₀ называется точкой разрыва первого рода; если есть бесконечность, то второго рода.

7)  Производная

Геометрически - угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀.

8)  Правила нахождения производных и сводка формул для производных:

8.1)      .

8.2)      .

8.3)      .

8.4)      .

8.5)      .

8.6)      .

8.7)      .

8.8)      .

8.9)      .

8.10)    .

8.11)    .

8.12)    .

8.13)    .

8.14)    .

8.15)    .

8.16)    .

8.17)    .

8.18)    .

8.19)    .

8.20)    .

8.21)    .

8.22)    .

8.23)     то

Пример 31.  Исследовать функции на непрерывность:

а)               ;

б)              

в)              

Решение:

а)  Найдем=();   следовательно, функция  — непрерывна.

б) функция   определена для ,  непрерывна на всей числовой оси, так как .

в) функция  определена везде, кроме x=2. Найдем:

Следовательно, точка x₀ = 2 есть точка разрыва второго рода. Когда, то , т.е. у = 1 — асимптота графика кривой ,  — точка пересечения графика с осью ординат (рис. 9.1).

Пример 32:  Найти производные следующих функций:

а)         y = cos 5x,

б)         ,

в)         ,

г)        

Решение:  

а) используем формулу для производной сложной функции , где , ,    Следовательно, ;

б)  аналогично: , тогда ,

;

в)  имеем  тогда ;

г) , то есть  поэтому

.

Примеры 33: Найти производные от дифференциальных функций, заданных неявно и параметрически:

а)               x² + y² – xy = 1;

б)               x³ + y³ – xy = 0;

в)               y = x + ln y;

г)               x = accost, y = b sin t;

д)               x = wt,   y = te^at.

Решение:

а) Производная от неявной функции находится по правилу: дифференцируют функцию как тождество, считая y = y(x),  то есть сложной функцией от x:

.

Откуда                           - есть производная неявной функции;

б) по аналогии: ,  откуда

;

в)   .

Замечание: если требуется найти  y¢_x  в некоторой точке M₀(x₀, y₀), то это выполняется привычным образом, только следует иметь в виду, что данная функция должна быть определена в рассматриваемой точке M₀. Так, для примера в) зададим точку M₀(1, 1). Проверим, удовлетворяют ли координаты x = 1, y = 1 уравнению y = x + ln y: 1 = 1 + ln 1, 1 = 1. Следовательно, - производная в данной точке не существует.

г) По формуле  найдем сначала y¢_t = b cos t,  x_t^’ = -a sin t; подставив в формулу, получим:

д)  и

Для данного примера найдем . Для чего необходимо найти:

9) Правило Лопиталя для неопределенностей  и :

,

если предел справа существует.

Примеры 34:  Используя правило Лопиталя, найти следующие пределы:

а)      ;                                                       б)       ;

в)      ;                                                       г)       ;

д)      ;                                                 е)       .

Решения:  

а)         ;

б)         ;

в)         ;

г)         ;

д)        

               ;

е) для функции f(x)=  могут быть получены неопределенности вида . В этом случае целесообразно логарифмировать функцию f(x). Обозначим наш предел буквой A, то есть:

.

Логарифмируем, получим (учтя непрерывность логарифмической функции):

Отсюда A = e⁰ = 1.

10)   Теорема Лагранжа о конечном приращении дифференцируемой функции

f (b) – f (a) = f ¢(c) (b — a),

где       .

11)  Функция y = f (x) возрастает, если f ¢(x) > 0, и убывает, если  f ¢ (x) < 0.

12)  Формула Тейлора

где        существует в окрестности точки x₀. При x₀ = 0  имеем

 — формулу Маклорена.

Отметим, что наиболее употребительной формулой для остаточного члена формулы Тейлора является так называемая форма Лагранжа этой формулы:

.

Если x₀ = 0, то формула принимает вид

.

Пример 35:  Записать формулу Маклорена для функции f(x) = e^x  и оценить погрешность при n = 8.

Решение: Формула Маклорена для функции f(x) = e^x  имеет вид:

,

где положено f(0) = 1,         f¢^‘(0) = 1, … f ⁽ⁿ⁾(0) = 1,         f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = e^x.

Если в формуле отбросить остаточный член, то получим приближенную формулу

.

Поскольку, то для x>0 погрешность оценивается неравенством

.

Так, при x = 1 получаем

.

Дадим, например, n=8 и проведем вычисления, с пятью десятичными знаками, тогда получим  e=2.71827. Здесь верны первые четыре знака, так как ошибка не превосходит  или 0,00001. 

13)  Необходимое условие экстремума f(x) в точке x₀:

f¢^¢ (x₀) = 0           или    f ¢(x₀) не существует.

14)  Достаточные условия экстремума f(x) в точке x₀:

а)         f¢^‘(x₀) = 0,      f¢^‘(x₀ - 0) f¢^‘(x₀ + 0) < 0;

б)         f¢^‘(x₀) = 0,       f² ^‘(x₀)  ¹ 0.

15)  График функции y = f(x) вогнут вверх, если f² ^‘(x₀)  > 0, и вогнут вниз, если f² (x₀)  < 0.

16)  Необходимое условие точки перегиба графика функции y = f(x) при x = x₀: f² (x₀)  = 0,  f²^‘(x₀)  не существует.

17)  Достаточное условие точки перегиба при x = x₀:

.

18) Если f(x)  непрерывна на [a,b]  и  f(a)f(b) < 0, то корень C  уравнения f(x) = 0 приближенно может быть найден по формулам:

а)         (метод хорд);

б)         , где  (метод касательных).

19)  Дифференциал независимой переменной х:

Дифференциал функции y = f(x):. Связь приращения  функции с дифференциалом dy функции:

,                         где       при .

20) Приближенное вычисление значения функции с помощью дифференциала, можно проводить по формуле:

21) Дифференциал второго порядка функции y = f(x), где х – независимая переменная   (d²x = 0):

.

Пример 36:  Найти точки перегиба графика функции .

Решение:  Найдем . Приравняв нулю , найдем критическую точку:

.

Используем достаточное условие точки перегиба:

, то есть ,

так как                                              .

Следовательно, при  функция  имеет перегиб и .

Пример 37:  Вычислить приближенное значение выражения  с помощью дифференциала.

Решение:  Используя формулу , положим  а , тогда   и .

Ответ: .

Пример 38: Найти приращение функции y = x³ на отрезке  и проверить теорему Лагранжа.

Решение:  Приращение функции  будет

, так как .

Формула Лагранжа дает:

,

то есть                                       .

Следовательно,  теорема Лагранжа имеет место.

Пример 39:  Найти  и , если .

Решение:  Используя определение дифференциала функции, найдем  и  .

Следовательно,  .

22)  Уравнение касательной к кривой у = f (x) в точке М₀(х_0, у₀):

,  — угловой коэффициент касательной.

23)  Уравнение нормали к кривой у = f (x) в точке М₀:

.

24)  Механический смысл производной.

Если x = f(t) – закон прямолинейного движения точки, то  — скорость движения в момент времени t.

25)  Механический смысл дифференциала: пусть s = f(t) – закон прямолинейного движения точки,  где s – длина пути,  t – время, тогда, где  v(t) – скорость движения. Следовательно, дифференциал пути равен приращению пути, в предположении, что, начиная с данного момента  t, точка движется равномерно, сохраняя приобретённую скорость.

26)  Механический смысл производной второго порядка: пусть x = f(t) – закон движения  точки М по оси Ох; пусть в момент t  точка М имеет скорость v(t), а в момент  — скорость. Отношение  (среднее ускорение движения), предел этого отношения при  называется ускорением точки М в данный момент времени t, то есть

        .

27)  Кривизна кривой у = f(х) в точке М₀(х_0, у₀):

а)          — когда линия задана в декартовых координатах;

б)          — когда линия задана параметрически;

в)          — когда линия задана в полярных координатах.

28)  Радиус кривизны данной кривой в данной точке определяется по формуле

и откладывается по нормали к кривой в точке М в сторону вогнутости кривой (рис. 9.2). Точка С – центр кривизны кривой, а окружность радиуса R называется окружностью кривизны кривой в точке М.

Пример 40.  Записать уравнения касательной и нормали к кривой у = х² в точке М₀(2;4).

Решение:  Найдём,  ; тогда, используя уравнения касательной и нормали, получим:

у – 4 = 4(х — 2),     у = 4х + 2 – уравнение касательной;

,  — уравнение нормали.

Пример 41. Найти кривизну синусоиды y = sin x в точке .

Решение:  Используя формулу для кривизны кривой, заданной в декартовых координатах, найдём . Тогда кривизна кривой в произвольной точке будет

.

При  имеем                                         ,                    k = 0.

Пример 42. С какой скоростью возрастает площадь круга в тот момент, когда радиус его R = 10 м, если радиус круга растёт со скоростью 2 м/с?

Решение: используем физический смысл дифференциала, зная, что площадь круга , найдём .

Пример 43.  Закон движения точки . Найти скорость и ускорение движения.

Решение: используя физический смысл скорости и ускорения движения точки, получаем:

V = 2 + 3t;      a = 3.