Предположим, что сделана необходимая схематизация тел и источников, участвующих в теплообмене. Теперь для каждого компонента технологической системы или подсистемы должно быть написано и с учетом конкретных условий однозначности решено дифференциальное уравнение теплопроводности. Существуют три основные группы методов решения дифференциального уравнения теплопроводности: аналитические; численные и методы математического моделирования.

К аналитическим относятся классический метод непосредственного интегрирования, метод интегральных преобразований и метод источников. При методе непосредственного интегрирования дифференциального уравнения решение выполняют одним из известных способов, например разделением переменных. Покажем применение этого метода при решении одномерной стационарной задачи. Примером, иллюстрирующим такую задачу, является определение температурного поля в инструменте при иглофрезеровании.

Схематизируя процесс,  представим иголку как стержень, на торце которого действует источник теплоты, возникающий в результате преобразования механической энергии трения в тепловую (рис. 2.6).

Граничные условия:

а) на нижнем торце иголки задана плотность теплового потока, т. е. ГУ2;

б) поскольку конец проволочки заделан в массивный корпус инструмента и не успевает прогреваться, можно предположить, что на верхнем (нерабочем) тор­це температура равна температуре окружающей среды, т. е. имеем типичный случай пассивной границы с ГУ1;

в) теплоотдачей с боковой поверхности проволочки в первом приближении можем пренебречь, т. е. считать эту поверхность адиабатической.

В первом приближении можем также считать, что температура иголки при обработке достаточно широких поверхностей быстро устанавливается. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности приводится к виду:

Интегрируя это уравнение первый раз, получаем:

.

Далее, разделив переменные 

и интегрируя второй раз, имеем

.

Для определения постоянных интегрирования используем граничные условия (a) и (б). Тогда

.